2018年センター数学IA 第5問

2018年センター数学IA
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　△ABCにおいて、AB = 2 , AC = 1 , ∠A = 90° とする。
　∠A の二等分線と辺BCの交点をDとすると、　ア　√　イ　　ウ　である。
　点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと個となるものをEとすると、AB・BE = 　エオ　　カ　であるから、 BE = 　キク　　ケ　である。

　次の　コ　には下の⓪～②から、　サ　には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。

　BEBD 　コ　 ABBC であるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点　サ　の側の延長上にある。

　⓪　<　　①　=　　②　>
　③　A　　④　C

　その交点をFとすると、CFAF = 　シ　　ス　であるから、 CF = 　セ　　ソ　である。したがって、BFの長さが求まり、CFAC = BFAB であることがわかる。
　次の　タ　には下の⓪～③から当てはまるものを一つ選べ。
　点Dは△ABFの　タ　。

　⓪　外心である　　①　内心である　　②　重心である
　③　外心、内心、重心のいずれでもない

解答

アイウ

　角の二等分線は、対辺をその角を為す2つの辺の比で分割する。
　 $\text{BC} = \sqrt{5}$ より、 $\displaystyle \text{BD} = \frac{2}{1+2} \times \sqrt{5} = \bm{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$
となる。

エオカキクケ

　法べきの定理より、

$\text{AB} \cdot \text{BE} = \text{BD}^2 = \bm{\frac{20}{9}}$

であり、 AB = 2 より、 $\displaystyle \text{BE} = \bm{\frac{10}{9}}$ となる。

コ

ここまでで求めた値を具体的に代入して比較します。

$\begin{align*} &\frac{\text{BE}}{\text{BD}} = \frac{\frac{10}{9}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{5} \\ &\frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{5} \end{align*}$

より、 $\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{BD}} < \frac{\text{AB}}{\text{BC}}$ となる。（よって、⓪が正解。）

サ

　今の結果より、

$\frac{\text{BE}}{\text{BA}} < \frac{\text{BD}}{\text{BC}}$

となっているので、辺ACから点Bを高さ方向としてみたときに、Dの方が低い位置にあることがわかるので、直線EDは直線ACとCの延長線上の側で交わる。（よって、④が正解。）

シス

　メネラウスの定理より、

$\frac{\text{BE}}{\text{EA}} \cdot \frac{\text{AF}}{\text{CF}} \cdot \frac{\text{CD}}{\text{DB}} = 1$

より、

$\frac{\text{BE}}{\text{BD}} \cdot \frac{\text{AF}}{\text{CF}} \cdot \frac{\text{CD}}{\text{EA}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\text{AF}}{\text{CF}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{8}{9}} = 1$