2018年 センター数学IA 第2問[1]

2018年 センター数学IA
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 四角形ABCDにおいて、3辺の長さをそれぞれ AB = 5 , BC = 9 , CD = 3 、対角線 AC の長さを AC = 6 とする。このとき
  cos ∠ABC =  ア  イ  , sin ∠ABC =  ウ  エ  オ 
である。

 ここで、四角形ABCDは台形であるとする。
 次の  カ  には下の⓪~②から、  キ  には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。

  CD  カ  AB・sin∠ABC であるから  キ  である。

 ⓪ <  ① =  ② >
 ③ 辺ADと辺BCが平行  ④ 辺ABと辺CDが平行

 したがって
  BD =  ク  ケコ 
である。

解答

アイウエオ

    \begin{align*} \cos \angle \text{ABC} &= \frac{\text{AB}^2 +\text{BC}^2 - \text{AC}^2}{2\text{AB} \cdot \text{BC}} \\ &= \frac{25+81-36}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \bm{\frac{7}{9}} \end{align*}

であり、

    \[ \sin \angle \text{ABC} = \sqrt{ 1- \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \bm{ \frac{4\sqrt{2}}{9}} \]

となる。

カキ

    \[ \text{AB} \cdot  \sin \angle \text{ABC} = 5 \times \frac{4\sqrt{2}}{9} > 3 = \text{CD} \]

より、カには が入る。

 図形を考えて、④辺ABと辺CDが平行でなければならない。

クケコ

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