2018年 センター数学IA 第1問[2]

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 全体集合 U を U = { x | x は 20 以下の自然数 } とし、次の部分集合 A , B , C を考える。
  A = { x | x ∈ U かつ x は 20 の約数 }
  B = { x | x ∈ U かつ x は 3 の倍数 }
  C = { x | x ∈ U かつ x は偶数 }
 集合Aの補集合をAと表し、空集合をΦと表す。

 次の キ に当てはまるものを、下の⓪~③のうちから一つ選べ。

 集合の関係
  (a) A ⊂ C
  (b) A ∩ B = Φ
の正誤の組み合わせとして正しいものは  キ  である。

(a)
(b)




 次の ク に当てはまるものを、下の⓪~③のうちから一つ選べ。

 集合の関係
  (a) ( A ∪ C ) ∩ B = { 6 , 12 , 18 }
  (b) (A ∩ C ) ∪ B = A ∩ ( B ∪ C )
の正誤の組み合わせとして正しいものは  ク  である。

(a)
(b)




(2) 実数 x に関する次の条件 p , q , r , s を考える。
  p : | x – 2 | > 2 ,
  q : x < 0 ,
  r : x > 4 ,
  s : \sqrt{x^2}>4

 次の  ケ  コ  に当てはまるものを、下の⓪~③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。

 q または r であることは、 p であるための  ケ  。また、 s は r であるための  コ 

⓪ 必要条件であるが、十分条件ではない
① 十分条件であるが、必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない

解答

 (a)については、Cは2以上20以下の偶数全体であるのに対し、
  A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 }
であるから、明らかに A ⊂ C ではない。
 (b)については、
  B = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 }
となり、 A ∩ B は共通要素を持たない。よって A ∩ B = Φ は正しい。

 以上より、選択肢は

 いろいろ解き方が思いつきますが、丁寧に読み砕くことにしましょう。

 (c)については、( A ∪ C ) ∩ B の前半部分は、
  A ∪ C = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }
となるので、これとBとの共通要素(すなわち 3 の倍数)を取り出して、
  ( A ∪ C ) ∩ B = { 6 , 12 , 18 }
となる。よって正。

 (d)については、左辺は
  A ∩ C = { 6 , 8 , 12 , 14 , 16 , 18}
となり、これとBとの和集合になるので、
  (A ∩ C ) ∪ B = { 3 , 6 , 8 , 9 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 }
となる。右辺は、
  B ∪ C = { 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 10, 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 }
となり、こことAとの共通部分(すなわち 20 の約数でない)を取り出して、
  A ∩ ( B ∪ C ) = { 3 , 6 , 8 , 9 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 }
となり、これは左辺と一致する。よって正。

 以上より、選択肢は

一般には、(A ∩ C ) ∪ B = A ∩ ( B ∪ C ) は成り立ちませんが、今回 A ∩ B = Φのために、両者の要素が一致しました。

ケコ

必要・十分の問題は、 p ⇒ q 、 q ⇒ p それぞれの真偽を確認する

 詳しい解法については、次のページで勉強してください。

必要条件と十分条件|勘に頼らなくても解ける!
実はイズミも、高校で初めて「必要条件と十分条件」を習ったときにはわけが分からなくて、勘で答えを書いていたものです(大体4択ですから、25%で当たります)。しかし、コツさえつかめば誰でも習得できるものなので、しっかり勉強していきましょう。

 前半は、( q または r ) ⇒ p と p ⇒ ( q または r ) の真偽を考えれば良い。

 条件 p : | x – 2 | > 2 は、絶対値を外して、
  - ( x – 2 ) > 2 , x – 2 > 2
  x < 0 , 4 < x
となるので、
 ( q または r ) ⇒ p は真
p ⇒ ( q または r ) は真
である。よって( q または r ) は p であるための②必要十分条件である

 後半も同様に、s ⇒ r と r ⇒ s の真偽を考えれば良い。

 条件 s : \sqrt{x^2} > 4 は絶対値を用いてルートを外すことができ、 s : | x | > 4 すなわち、
  s : x < -4 , 4 < x
となるので、
 s ⇒ r は偽(反例は x = -5 )
 r ⇒ s は真
である。よって s は r であるための⓪必要条件であるが、十分条件ではない

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