2018年センター数学IA 第1問[1]

2018年センター数学IA
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　x を実数とし
　　A = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( 5 – x ) ( 6 – x ) ( 7 – x )
とおく。整数 n に対して
　　( x + n ) ( n + 5 – x ) = x ( 5 – x ) + n² + 　ア　 n
であり、したがって、 X = x ( 5 – x ) とおくと
　　A = X ( X + 　イ　 ) ( X + 　ウエ　 )
と表せる。
　　 $\displaystyle x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ のとき、 X = 　オ　であり、 A = 2^{カである。}

解答

ア

　うまく掛け算する相手を考えて、
　　( x + n ) { n + ( 5 – x ) }
　　= x ( 5 – x ) + xn + n² + n ( 5 – x )
　　= X + n² + 5n
となる。

イウエ

　いま求めた式で、 n = 1 とすると、
　　( x + 1 ) ( 6 – x ) = X + 1 + 5 = X + 6
であり、n = 2 とすると、
　　( x + 2 ) ( 7 – x ) = X + 4 + 10 = X + 14
となるので、
　　A = x ( 5 – x ) × ( x + 1 ) ( 6 – x ) × ( x + 2 ) ( 7 – x )
　　　= X ( X + 6 ) ( X + 14 )
となる。

オカ

　 $\displaystyle x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ のとき、

$X = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \times \frac{5 -\sqrt{17}}{2} = \frac{25-17}{4} = \bm{2}$

であるから、
　　A = 2・8・16 = 2×2³×2⁴ = 2⁸