2014年 センター数学IIB 第1問[2]

第1問[2]

解答

ソタ

 log2 23 = 3, log3 1 = 0であるから、
  log2 23 + log3 12 = 3 + 0 = 3
同様に、 log2 43 = log2 26 = 6, log3 32 = 2 であるから、
  log2 43 + log3 32 = 6 + 2 = 9
である。

チツテ

与えられた式を変形して、

(a) \begin{align*} \log_2 m^3 + \log_3 n^2 &\leqq 3 \\ 3 \log_2 m + 2 \log_3 n &\leqq 3 \\ \log_2 m + \bm{\frac{2}{3}} \log_3 n &\leqq \bm{1}  \end{align*}

となる。

トナニ

 n が自然数のとき、 log3 n のとり得る最小の値は 0 であるから、(a)式より、 log2 m ≦ 1 でなければならない。
 この条件を満たす自然数 m は m = 1 , 2 のいずれかである。

ヌネノハヒ

 m = 1 のとき、log2 1 = 0 であるから、(a)式に代入して、

\begin{align*} \frac{2}{3} \log_3 n &\leqq 1 \\ \log_3 n &\leqq \bm{\frac{3}{2}} \end{align*}

である。これを解くと、

\begin{align*} \log_3 n &\leqq \frac{3}{2} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} \\ n &\leqq 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \\ n^2 &\leqq \bm{27} \end{align*}

となる。よって、自然数 n の範囲は、n ≦ 5 である。
 以上より、 m = 1 のとき(a)式を満たす m , n のペアは 5 通りである。

 同様に、 m = 2 のときは(a)式に log2 2 = 1 を代入して log3 n = 0 すなわち、
   n = 1
である。よって、 m = 2 のとき(a)式を満たす m , n のペアは 1 通りである。

 以上より、(a)式を満たす m , n のペアは 5 + 1 = 6 通りである。

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