2015年 センター数学IA 第1問

第1問

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解答

アイ

 ①は

    \[ y=-x^2 +2x +2 = -(x-1)^2 +3 \]

と平方完成できるから、頂点の座標は ( 1 , 3 )

ウエオカ

 f ( x ) は、

    \[ f ( x ) = - ( x - 1 - p )^2 +3 +q \]

であり、頂点の x 座標は 1 + p である。この関数のグラフを移動させながら考える。

 2 ≦ x ≦ 4 における f ( x ) の最大値が f ( 2 ) となるというのは、x = 2 のときに最大値を取るということであり、それは、頂点が x ≦ 2 の範囲にあるときである。つまり p ≦ 1 である。

 同様に、2 ≦ x ≦ 4 における f ( x ) の最小値が f ( 2 ) となる( x = 2 のとき最小値を取る)のは、頂点が 3 ≦ x の範囲にあるときである。つまり p ≧ 2 である。

キクケコサシ

 解が -2 < x < 3となるような 2 次不等式は、
  ( x + 2 ) ( x – 3 ) < 0
であるから、これを展開して、
  x2 – x – 6 < 0
より、
  f ( x ) = – x2 + x + 6
である。これは平方完成すると

    \[ f(x) = - \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{25}{4} \]

より頂点は \displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{25}{4} \right)であり、これは①のグラフを x 軸方向に\displaystyle p = \bm{\frac{-1}{2}} 、y 軸方向に\displaystyle q = \bm{\frac{13}{4}}平行移動したグラフである。

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