2015年 センター数学IA 第2問[2]

第2問[2]

15_1a_2_2

解答

オカキクケコサ

 余弦定理より、

\begin{align*} \text{AC}^2 &= \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2 \text{AB}^2 \cdot \text{BC} \cos \angle \text{ABC} \\ &=34 + 15 = 49 \end{align*}

より、AC = 7
 また、暗記している角度であるから、\displaystyle \sin \angle \text{ABC} = \sin 120^{\circ} = \bm{\frac{\sqrt{3}}{2}}である。
 最後に、まず正弦定理より、

\[ \frac{\text{AC}}{\sin \angle \text{ABC}} = \frac{\text{BA}}{\sin \angle \text{BCA}} \]

が成り立つので、これを解いて、

\begin{align*} \sin \angle \text{BCA} &= \frac{\sin \angle \text{ABC}}{\text{AC}} \times \text{BA} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{7} \times 3 \\ &= \bm{\frac{3\sqrt{3}}{14}} \end{align*}

である。

シスセ

 外接円の半径 R は、正弦定理より、

\[ R = \frac{\text{AP}}{2\sin \angle \text{BCA}} = \frac{7}{3\sqrt{3}} \text{AP} \]

で与えられる。
 今、A, B, C, D, P の位置関係は図は以下の通りで(図は後日挿入)、線分APの長さは、点PがBからDまで動く間に様々な値を取る。

 APが最小となるのは、点PがAから線分BD上への垂線の足の位置であるときで、そのときのAPの長さは、\displaystyle \text{AP} = \frac{3\sqrt{3}}{2}である。よって、Rの最小値は、

\[ R_{min} = \frac{7}{3\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \bm{\frac{7}{2}} \]

である。
 次に、APが最大となるのは、PがDと一致するときで、\text{AP} = 3\sqrt{3}である。よって R の最大値は、

\[ R_{max} = \frac{7}{3\sqrt{3}} \times 3\sqrt{3} = \bm{7} \]

である。

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