2019年 センター数学IA 第1問[2]

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 二つの自然数 m , n に関する三つの条件 p , q , r を次のように定める。

p : m と n はともに奇数である
q : 3mn は奇数である
r : m + 5n は偶数である

また、条件 p の否定を p で表す。

(1) 次の  シ  ス  に当てはまるものを、次の〜②のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

二つの自然数 m , n が条件 p を満たすとする。このとき、 m が奇数ならば n は  シ  。また、mが偶数ならばnは  ス 

⓪ 偶数である
① 奇数である
② 偶数でも奇数でもよい

(2) 次の  セ  ソ  タ  に当てはまるものを、次の⓪~③ようちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

p は q であるための  セ 
p は r であるための  ソ 
p は r であるための  タ 

⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが、十分条件ではない
② 十分条件であるが、必要条件ではない
③ 必要条件で十分条件でもない

解答

シス

「ともに」の否定は「いずれかは」

条件 p の否定は
p : m と n のいずれかは偶数である
となるので、 m が奇数なら、n は ⓪ 偶数である。また、 m が偶数なら、n は ② 偶数でも奇数でもよい

セソタ

必要・十分の問題は、 p ⇒ q 、 q ⇒ p それぞれの真偽を確認する

詳しい解法については、次のページで勉強してください。

必要条件と十分条件|勘に頼らなくても解ける!
実はイズミも、高校で初めて「必要条件と十分条件」を習ったときにはわけが分からなくて、勘で答えを書いていたものです(大体4択ですから、25%で当たります)。しかし、コツさえつかめば誰でも習得できるものなので、しっかり勉強していきましょう。

それぞれの条件を噛み砕いて書くと、
p : m も n も奇数
q : m も n も奇数 (3mnが奇数ということは、m も n も奇数でなければならない)
r : m と n はいずれも偶数、またはいずれも奇数
p : m と n のいずれかは偶数
ということである。

p と q は全く同じ条件であるから、 p は q であるための⓪ 必要十分条件である

p ⇒ r は成立するので、 p は r であるための十分条件である。
r ⇒ p は成立しない(反例: m , n がともに偶数の場合)ので、 p は r であるための必要条件ではない。
よって、 p は r であるための② 十分条件であるが必要条件ではない

p ⇒ r は非成立(反例: m と n のどちらか一方が偶数の場合)
r ⇒ p も非成立(反例: m , n のいずれも奇数の場合)
よって、 p は r であるための③ 必要条件でも十分条件でもない

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