二つの自然数 m , n に関する三つの条件 p , q , r を次のように定める。
p : m と n はともに奇数である
q : 3mn は奇数である
r : m + 5n は偶数である
また、条件 p の否定を p で表す。
(1) 次の シ 、 ス に当てはまるものを、次の〜②のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
二つの自然数 m , n が条件 p を満たすとする。このとき、 m が奇数ならば n は シ 。また、mが偶数ならばnは ス 。
⓪ 偶数である
① 奇数である
② 偶数でも奇数でもよい
(2) 次の セ 、 ソ 、 タ に当てはまるものを、次の⓪～③ようちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
p は q であるための セ 。
p は r であるための ソ 。
p は r であるための タ 。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが、十分条件ではない
② 十分条件であるが、必要条件ではない
③ 必要条件で十分条件でもない
解答
シス
条件 p の否定は
p : m と n のいずれかは偶数である
となるので、 m が奇数なら、n は ⓪ 偶数である。また、 m が偶数なら、n は ② 偶数でも奇数でもよい。
セソタ
詳しい解法については、次のページで勉強してください。
それぞれの条件を噛み砕いて書くと、
p : m も n も奇数
q : m も n も奇数 (3mnが奇数ということは、m も n も奇数でなければならない）
r : m と n はいずれも偶数、またはいずれも奇数
p : m と n のいずれかは偶数
ということである。
p と q は全く同じ条件であるから、 p は q であるための⓪ 必要十分条件である。
p ⇒ r は成立するので、 p は r であるための十分条件である。
r ⇒ p は成立しない（反例： m , n がともに偶数の場合）ので、 p は r であるための必要条件ではない。
よって、 p は r であるための② 十分条件であるが必要条件ではない。
p ⇒ r は非成立（反例： m と n のどちらか一方が偶数の場合）
r ⇒ p も非成立（反例： m , n のいずれも奇数の場合）
よって、 p は r であるための③ 必要条件でも十分条件でもない。
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