2019年センター数学IA 第2問[1]

2019年センター数学IA
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　△ABCにおいて、 AB = 3 , BC = 4 , AC = 2 とする。
　次の　エ　には、下の⓪～②のうちから当てはまるものを一つ選べ。

　cos∠BAC = 　アイ　　ウ　であり、 ∠BAC は　エ　である。
　また、 sin∠BAC = √　オカ　　キ　である。

　　　⓪　鋭角　　①　直角　　②　鈍角

　線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。
　cos∠CAD = 　ク　　ケ　であるから、 AD = 　コ　であり、
　△DBCの面積は　サ　√　シス　　セ　である。

解答

アイウエ

　余弦定理より、

$\cos \angle \text{BAC} = \frac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \bm{\frac{-1}{4}}$

であり、cosの値（余弦）が負になるので、∠BACは鈍角である。

オカキ

$\sin \angle \text{BAC} = \sqrt{1 - \left( -\frac{1}{4} \right)^2 } = \sqrt{\frac{15}{16}} = \bm{ \frac{\sqrt{15}}{4}} }$

となる。

クケ

　図を正しく書けばわかるが、辺ACの垂直二等分線と直線ABが交わるのは辺AB上ではなく、線分BAをAの先へ伸ばした場所である。
　よって、
　　∠BAC + ∠DAC = 180°
の関係があるので、
　　cos ∠CAD = cos ( 180° – ∠BAC )
　　　　　　　 = -cos ∠BAC
となるので、

$\cos \angle \text{CAD} = \bm{\frac{1}{4}}$