2019年 センター数学IA 第2問[1]

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 △ABCにおいて、 AB = 3 , BC = 4 , AC = 2 とする。
 次の  エ  には、下の⓪~②のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 cos∠BAC =  アイ  ウ  であり、 ∠BAC は  エ  である。
 また、 sin∠BAC =  オカ  キ  である。

   ⓪ 鋭角  ① 直角  ② 鈍角

 線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。
 cos∠CAD =  ク  ケ  であるから、 AD =  コ  であり、
 △DBCの面積は  サ  シス  セ  である。

解答

アイウエ

 余弦定理より、

\[ \cos \angle \text{BAC} = \frac{3^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \bm{\frac{-1}{4}} \]

であり、cosの値(余弦)が負になるので、∠BACは鈍角である。

オカキ

\[ \sin \angle \text{BAC} = \sqrt{1 - \left( -\frac{1}{4} \right)^2 } = \sqrt{\frac{15}{16}} = \bm{ \frac{\sqrt{15}}{4}} } \]

となる。

クケ

 図を正しく書けばわかるが、辺ACの垂直二等分線と直線ABが交わるのは辺AB上ではなく、線分BAをAの先へ伸ばした場所である。
 よって、
  ∠BAC + ∠DAC = 180°
の関係があるので、
  cos ∠CAD = cos ( 180° – ∠BAC )
        = -cos ∠BAC
となるので、

\[ \cos \angle \text{CAD} = \bm{\frac{1}{4}} \]

である。

 辺ACの中点をMとすると、△ADMは∠AMDが直角の直角三角形である。よって、

\[ \cos \angle \text{CAD} = \frac{\text{AM}}{\text{AD}} = \frac{1}{4} \]

が成り立つ。いま、 AM = 1 であるから、 AD = 4 となる。

サシスセ

 △ADCは AD = DC = 4 の二等辺三角形であり、△DBCは BC = CD = 4 の二等辺三角形であることがわかる。
 また、 BD = BA + AD = 3 + 4 = 7 であるから、△DBCの面積は、ヘロンの公式より、

\[ S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}} =\bm{ \frac{7\sqrt{15}}{4} } \]

となる。

※もちろん、いずれかの角の正弦を求めてから三角形の面積の公式に当てはめても良い。

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