2021年共通テスト数学IIB 第5問

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解答

アイ

　△A₁C₁B₁ は ∠B₁A₁C₁ = ∠B₁C₁A₁ の二等辺三角形であり、
　　∠A₁B₁C₁ = 108°
であるから、
　　∠A₁C₁B₁ = ( 180° – 108° ) ÷ 2 = 36°
である。

ウ

　A₁A₂ = a , B₁C₁ = 1 であり、A₁A₂ // B₁C₁ であるから、
　　 $\overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_2} = \bm{a} \overrightarrow{\text{B}_1\text{C}_1}$
である。

エオ

　ウ = a なので、問題文の式より、

$\begin{align*} &- a \overrightarrow{\text{OA}_1} - \overrightarrow{\text{OA}_2} + \overrightarrow{\text{OA}_1} + a \overrightarrow{\text{OA}_2}　\\ &=\bm{(a -1)} ( \overrightarrow{\text{OA}_2} - \overrightarrow{\text{OA}_1} ) \end{align*}$

となる。

カキク

　これも問題文の誘導より、求める値は、
　　A₁A₂² = a² = 6 + 2√54 = 3 + √52……(a)

ケコサ

いま、

$|\overrightarrow{\text{OA}_2} - \overrightarrow{\text{OA}_1}|^2 = |\overrightarrow{\text{OA}_2}|^2 - 2\overrightarrow{\text{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_1} + | \overrightarrow{\text{OA}_1}|^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

であり、いま、 $|\overrightarrow{\text{OA}_1}|=|\overrightarrow{\text{OA}_2}|=1$ であるから、

$2\overrightarrow{\text{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_1} = 1+1-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

より、

$\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_2} = \bm{\frac{1-\sqrt{5}}{4}}$

である。

シ

　まず、問題文にある

$\overrightarrow{\text{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_3} = \overrightarrow{\text{OA}_3} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_1} = \frac{1-\sqrt{5}}{4}$

を見るに、正五角形のある1つの頂点からそれぞれの辺に沿ったベクトルの内積は、この値になることが分かる。この値を b としておく。
　問題文にある

$\overrightarrow{\text{OB}_2} = \overrightarrow{\text{OA}_3} + a \overrightarrow{\text{OA}_2}$

であることを用いると、

$\begin{align*} &\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OB}_2} \\ &=\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot ( \overrightarrow{\text{OA}_3} + a \overrightarrow{\text{OA}_2}) \\ &=\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_3} + a \overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_2} \end{align*}$

ここで、 $\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_3}$ と $\overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_2}$ はいずれも正五角形の隣り合う辺の内積であるから、その値は b となる。よって、求める値は
　　b + ab = b ( 1 + a )
　　= 1 – √54 ✕ 3 + √52 = – 2 – 2√58 = – 1 – √54
である。よって解答は ⑨ である。

ス

　前のページの問題文にある

$\overrightarrow{\text{OB}_1} =\overrightarrow{\text{OA}_2} + a \overrightarrow{\text{OA}_1}$

であることを用いると、

$\begin{align*} &\overrightarrow{\text{OB}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OB}_2} \\ &=(\overrightarrow{\text{OA}_2} + a \overrightarrow{\text{OA}_1}) \cdot ( \overrightarrow{\text{OA}_3} + a \overrightarrow{\text{OA}_2}) \\ &=\overrightarrow{\text{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_3} + a | \overrightarrow{\text{OA}_2}|^2 + a \overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_3} + a^2 \overrightarrow{\text{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OA}_2} \end{align*}$

であり、先程と同様に、ここに出てくる内積はすべて b となるので、
　　b + a・1 + ab + a²b
　　= a + ( 1 + a + a² ) b
となるので、(a)などの
　　= 1 + √52 + ( 1 + 1 + √52 + 3 + √52 ) ✕ 1 – √54
　　= 1 + √52 + ( 3 + √5 ) ✕ 1 – √54
　　= 1 + √52 + – 1 – √52
　　= 0
となるので、答えは ⓪ 0 である。

セ

　四角形OB₁DB₂の4つの辺は、いずれも合同な正五角形の対角線であるから、すべて同じ長さである。ひし形または正方形である。
　つぎに、先程の結果より、 $\overrightarrow{\text{OB}_1} \cdot \overrightarrow{\text{OB}_2} = 0$ より、
　　∠B₁OB₂ = 90°
であるから、この四角形は ⓪　正方形 である。