2020年 センター数学IIB 第3問

問題

 数列 { an } は、初項 a1 が 0 であり、 n = 1 , 2 , 3 , … のときに次の漸化式を満たすものとする。
  an+1 = n + 3n + 1 { 3an + 3n+1 – ( n + 1 )( n + 2 ) }……①

(1) a2 =  ア  である。

(2) bn = an3n(n+1)(n+2) とおき、数列 { bn } の一般項を求めよう。
 { bn } の 初項 b1 イ  である。①の両辺を 3n+1( n + 2 )( n + 3 ) で割ると

  bn+1 = bn +  ウ ( n +  エ  ) ( n +  オ  ) – ( 1 カ  )n+1

を得る。ただし、 エ  <  オ  とする。
 したがって

  bn+1 – bn = (  キ n +  エ  キ n +  オ  ) – ( 1 カ  )n+1

である。

 n を2以上の自然数とするとき
  \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (  キ n +  エ  キ n +  オ  ) = 1 ク  ( n –  ケ n +  コ  )

  \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} ( 1 カ  )n+1 =  サ  シ  ス  セ  ( 1 カ  )n

が成り立つことを利用すると

  bn = n –  ソ  タ  ( n +  チ  ) +  ス  セ  ( 1 カ  )n

が得られる。これは n = 1 のときも成り立つ。

(3) (2)により、 { an } の一般項は
 
  an =  ツ n- ( n2 ト  ) + ( n +  ナ  ) ( n +  ニ  ) ヌ 

で与えられる。ただし、  ナ  <  ニ  とする。
 このことから、すべての自然数 n について、 an は整数となることがわかる。

(4) k を自然数とする。 a3k , a3k+1 , a3k+2 を3で割った余りはそれぞれ  ネ  ,  ノ  ,  ハ  である。また、 { an } の初項から第2020項までの和を3で割った余りは  ヒ  である。

解答

アイ

 与えられた式に n = 1 を代入して、
  a2 = 42 { 32 – 2・3 } = 6

 同様に、n = 1 を代入すると、 a1 = 0 なので、
  b1 = 0

ウエオカ

 問題文の指示通り、丁寧に割り算をすると、

    \begin{align*} b_{n+1} &= \frac{n+3}{n+1} 3a_n \cdot \frac{1}{3^{n+1}(n+2)(n+3)} \\ &\quad + \frac{n+3}{n+1} \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)} \\ &\quad - \frac{n+3}{n+1} (n+1)(n+2) \cdot \frac{1}{3^{n+1}(n+2)(n+3)} \\ &=\frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} - \frac{1}{3^{n+1}} \\ &=b_n + \frac{1}{(n+\bm{1})(n+\bm{2})} - \left( \frac{1}{\bm{3}} \right)^{n+1} \end{align*}

となる。

 真ん中の項を部分分数分解して整理すると、

(※)   \[ b_{n+1} - b_n = \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}  \]

となる。

クケコ

 定番の問題。書き下すとわかりやすいです。

    \begin{align*} &\sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) \\ &=\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &=\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \\ &=\frac{n+1-2}{2(n+1)} \\ &=\frac{1}{\bm{2}} \cdot \frac{n-\bm{1}}{n+\bm{1}} \end{align*}

サシスセ

 こちらは等比数列の和の公式。初項1/9、公比1/3の等比数列の和(項数 n – 1 )です。

    \begin{align*} &\sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{3} \right)^{k+1} \\ &=\frac{\frac{1}{9} \left\{ 1- \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\} }{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n-1 \right\} \\ &=\bm{\frac{1}{6}} - \bm{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{align*}

ソタチ

 これらの結果を利用して、(※)式を辺々足すと、

    \begin{align*} b_n - b_1 &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n+1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \\ b_n &= \frac{3(n-1)-(n+1)}{6(n+1)} +\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \\ &=\frac{n-\bm{2}}{\bm{3}(n+\bm{1})} +\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{align*}

となる。

ツテトナニヌ

 改めて、

    \begin{align*} a_n &= \frac{n-2}{3(n+1)} \times 3^n (n+1)(n+2) \\ &\qquad + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} \times 3^n (n+1)(n+2) \\ &=\bm{3}^{n-\bm{1}} (n^2 - \bm{4} ) + \frac{(n+\bm{1})(n+\bm{2})}{\bm{2}} \end{align*}

となる。(第2項は連続する2数は偶数なので、それを2で割った数も整数となる。)

ネノハ

 第1項は明らかに 3 の倍数( n = 1 のときも、 1 – 4 = -3 より3の倍数となっている)なので、第2項を3で割ったあまりが幾つになるのかを確認する。
  n = 3k のときは、3の倍数が含まれない。実際に見てみると、
   12(3k+1)(3k+2) = 9 × k(k+1)2 + 1 となり、余りは1である。
  n = 3k + 1 , 3k + 2 のとき
   n + 1 , n + 2 のいずれかが3の倍数となることから、これらを3で割った余りは 0 となる。
よって、答えは順に、 1 , 0 , 0 である。

※マーク式の試験なので、
 ・a1 = 0 (3で割った余りは0)
 ・a2 = 6 (3で割った余りは0)
 ・a3 = 53 ( 18 + 27 – 12 ) = 55 (3で割った余りは1)
という事実だけから類推して解いてしまえばよい。そうすると、途中が解けなくてもここだけは正解できる。

 3で割った余りに着目すると、
  a3 = 1 , a6 = 1 , …
と3の倍数番目の項だけ余りが1になる。
 a2020 までに 3 の倍数は 673 回ある(2020 ÷ 3 = 673 あまり 1)ので、余りだけを足し合わせると673となる。最後にこれを3で割った余りが答えとなる。673 ÷ 3 = 224 あまり 1 となるので、答えは 1 となる。

2020年センター数学IIB

2020年 センター数学IIB 講評
2020年 センター数学IIB 第1問[1]
2020年 センター数学IIB 第1問[2]
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2020年 センター数学IIB 第3問
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