2022年共通テスト数学IIB 第2問[1]

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　a を実数とし、 f ( x ) = x³ – 6ax + 16 とおく。

(1)　y = f ( x ) のグラフの概形は
　　a = 0 のとき、　ア　
　　a < 0 のとき、　イ　
である。

　ア　、　イ　については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(2)　a > 0 とし、 p を実数とする。座標平面上の曲線 y = f ( x ) と直線 y = p が 3 個の共有点をもつような p の値の範囲は　ウ　 < p < 　エ　である。

　p = 　ウ　のとき、曲線 y = f ( x ) と直線 y = p は2個の共有点をもつ。それらの x 座標を q , r ( q < r ) とする。曲線 y = f ( x ) と直線 y = p が点 ( r , p ) で接することに注意すると
　　q = 　オカ　 √ 　キ　 a^1/2 , r = √　ク　 a^1/2
と表せる。

　ウ　、　エ　の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　2√2 a^3/2 + 16　　①　-2√2 a^3/2 + 16
②　4√2 a^3/2 + 16　　③　-4√2 a^3/2 + 16
④　8√2 a^3/2 + 16　　⑤　-8√2 a^3/2 + 16

(3)　方程式 f ( x ) = 0 の異なる実数解の個数を m とする。次の⓪～⑤のうち、正しいものは　ケ　と　コ　である。

　ケ　、　コ　の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　n = 1 ならば a < 0　　①　a < 0 ならば n = 1
②　n = 2 ならば a < 0　　③　a < 0 ならば n = 2
④　n = 3 ならば a > 0　　⑤　a > 0 ならば n = 3

解答

アイ

　y = f ( x ) は3次の係数が正であるから、 x が小さくなる方向で y はマイナスとなる。よって選択肢は⓪、①、②に絞られる。

　a = 0 のとき、
　　f ( x ) = x³ + 16
　　f'( x ) = 3x²
である。 f'( x ) = 0 は重解 x = 0 を持つので極大値と極小値は持たない。よって②ではない。
　 x = 0 における接線の傾きは f'( 0 ) = 0 であることから、最も適当なグラフは①。

　a < 0 のとき、
　　f ‘ ( x ) = 3x² – 6a > 0
より接線の傾きは常に正。よって、最も適当なグラフは⓪

ウエ

　y = f ( x ) の極大値と極小値を求めれば良い。 a > 0 のとき、

$f'(x) = 3 ( x + \sqrt{2a} )(x - \sqrt{2a} )$

より、極小値は $x = \sqrt{2a}$ のときで、その値は、

$f(\sqrt{2a}) = -4\sqrt{2} a^{\frac{3}{2}} + 16$

となり、答えは③。同様に極小値は、

$f(-\sqrt{2a}) = 4\sqrt{2} a^{\frac{3}{2}} + 16$

となり、答えは②。

オカキク

　このとき、 r は極小値のx座標と一致するので、 $r = \sqrt{\bm{2}}a^{\frac{1}{2}}$ である。
　q は、y = f(x) と $y = -4\sqrt{2} a^{\frac{3}{2}} + 16$ の連立方程式を解いて、 $q = \bm{-2\sqrt{2}}a^{\frac{1}{2}}$ である。

ここは、3次関数の性質から求めるほうが早い。後で示す。

ケコ

　①、③、⑤から検証する。
　冒頭見たように、 a < 0 のときのグラフは選択肢の⓪となり、 f ( x ) = 0 の実数解の個数 n = 1 である。よって①は正しい。③は間違い。
　a > 0 のときは、必ずしも n = 3 とは限らない（問(1)の②のグラフのように解が1つの場合もある）。よって⑤も間違い。

　次に⓪、②、④について考える。
　n = 1 のとき、 a < 0 であることもあるが、 a > 0 であっても n = 1 になりうる。よって⓪は間違い。
　n = 2 ということは少なくとも極大値と極小値が存在しなくてはならず、そのためには a > 0 である必要がある。よって②も間違い。
　残る④は、 n = 3 ならば極大値と極小値が必要なので、a > 0 でなければならない。よってこれは正解。

　まとめると、①と④が正解である。