2014年センター数学IA 第1問[1]

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第1問[1]

解答

アイウエオ

( x + y ) ( x – y ) = x² – y² の公式を利用して、

$\begin{align*} ab &= \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}} \\ &=\frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} \\ &=\frac{(1 - \sqrt{2} +\sqrt{3} - \sqrt{6})+(1 + \sqrt{2} -\sqrt{3} - \sqrt{6}) }{1 - 2} \\ &= \frac{1-3}{1-2} = \frac{-2}{-1} = \bm{2} \end{align*}$

であり、

$\begin{align*} a+b &= \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}} + \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}} \\ &= -(2 - 2\sqrt{6} ) = \bm{2(-1 +\sqrt{6})} \end{align*}$

である。

カキク

　( a + b )² = a² + 2ab + b² より、
　　　a² + b² = ( a + b )² – 2ab
であるから、

$\begin{align*} a^2 + b^2 &= (a+b)^2 - 2ab \\ &= \{ 2(-1 +\sqrt{6} )^2 \} - 2\cdot 2 \\ &= 4(7 - 2 \sqrt{6} )-4 = 24 - 8\sqrt{6} \\ &=\bm{ 8(3 - \sqrt{6})} \end{align*}$