2018年 センター数学IIB 第1問[1]

2018年 センター数学IIB
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(1) 1ラジアンとは、 ア  のことである。 ア  に当てはまるものを、次の⓪~③のうちから一つ選べ。

⓪ 半径が1、面積が1の扇形の中心角の大きさ
① 半径がπ、面積が1の扇形の中心角の大きさ
② 半径が1、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
③ 半径がπ、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2) 144°を弧度で表すと  イ  ウ  πラジアンである。また、 \displaystyle \frac{23}{12}\piラジアンを度で表すと  エオカ °である。

(3) \displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \piの範囲で

\[ 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) - 2 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{30} \right) = 1  \]

を満たす θ の値を求めよう。
 \displaystyle x = \theta + \frac{\pi}{5} とおくと、①は
  2 sin x – 2 cos ( x – π キ  ) = 1
と表せる。加法定理を用いると、この式は
  sin x – √ ク  cos x = 1
となる。さらに、三角関数の合成を用いると
  sin ( x – π ケ  ) = 1 コ 
と変形できる。 \displaystyle x= \theta + \frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \piだから、 θ =  サシ  スセ π である。

解答

 1ラジアンとは、弧の長さが半径と同じになるような扇形の中心角の大きさなので、が適当。

イウエオカ

 180° = π ラジアンというところから考えましょう。
 144°は \displaystyle \frac{144}{180}\pi = \bm{\frac{4}{5}}\piラジアン。
 \displaystyle \frac{23}{12}\pi = \frac{345}{180}\piより、345°。

\[ \theta + \frac{\pi}{30} = \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) - \frac{\pi}{6} \]

であるから、

(※) \[ 2 \sin x - 2 \cos \left( x - \frac{1}{\bm{6}}\pi \right) = 1  \]

となる。

 加法定理より、

\begin{align*} &\cos \left( x - \frac{1}{\bm{6}}\pi \right) \\ &= \cos x \cos \left( -\frac{1}{6}\pi \right) - \sin x \sin \left( -\frac{1}{6}\pi \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \end{align*}

となるので、(※)式を変形して、

\begin{align*} &2\sin x - \sqrt{3} \cos x - \sin x = 1 \\ &\sin x - \bm{\sqrt{3}} \cos x = 1 \end{align*}

となる。

ケコ

 さらに三角関数の合成の公式より、

\[ 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 1 \]

すなわち、

(※※) \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{\bm{3}} \right) = \frac{1}{\bm{2}} \]

となる。

サシスセ

 (※※)式を解くと、整数 k を用いて

\[ \displaystyl x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi , \frac{5}{6}\pi + 2k\pi \]

となるので、

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi , \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \]

であり、さらにθに直して、

\begin{align*} \theta &= x - \frac{\pi}{5} \\ &= \frac{3}{10}\pi + 2k\pi , \frac{29}{30}\pi + 2k\pi \end{align*}

となり、\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi より、\displaystyle \theta = \bm{\frac{29}{30}}\piとなる。

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