2018年センター数学IIB 第1問[1]

2018年センター数学IIB
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(1)　1ラジアンとは、　ア　のことである。　ア　に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪　半径が1、面積が1の扇形の中心角の大きさ
①　半径がπ、面積が1の扇形の中心角の大きさ
②　半径が1、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
③　半径がπ、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ

(2)　144°を弧度で表すと　イ　　ウ　 πラジアンである。また、 $\displaystyle \frac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すと　エオカ　°である。

(3)　 $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で

① $2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) - 2 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{30} \right) = 1$

を満たす θ の値を求めよう。
　 $\displaystyle x = \theta + \frac{\pi}{5}$ とおくと、①は
　　2 sin x – 2 cos ( x – π　キ　 ) = 1
と表せる。加法定理を用いると、この式は
　　sin x – √　ク　 cos x = 1
となる。さらに、三角関数の合成を用いると
　　sin ( x – π　ケ　 ) = 1　コ　
と変形できる。 $\displaystyle x= \theta + \frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ だから、 θ = 　サシ　　スセ　π である。

解答

ア

　1ラジアンとは、弧の長さが半径と同じになるような扇形の中心角の大きさなので、②が適当。

イウエオカ

　180° = π ラジアンというところから考えましょう。
　144°は $\displaystyle \frac{144}{180}\pi = \bm{\frac{4}{5}}\pi$ ラジアン。
　 $\displaystyle \frac{23}{12}\pi = \frac{345}{180}\pi$ より、345°。

キ

$\theta + \frac{\pi}{30} = \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) - \frac{\pi}{6}$

であるから、

(※) $2 \sin x - 2 \cos \left( x - \frac{1}{\bm{6}}\pi \right) = 1$

となる。

ク

　加法定理より、

$\begin{align*} &\cos \left( x - \frac{1}{\bm{6}}\pi \right) \\ &= \cos x \cos \left( -\frac{1}{6}\pi \right) - \sin x \sin \left( -\frac{1}{6}\pi \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \end{align*}$