2020年 センター数学IIB 第1問[2]

問題

(1) tは正の実数であり、\displaystyle t^{\frac{1}{3}} - t^{-\frac{1}{3}} = -3を満たすとする。このとき、
  \displaystyle t^{\frac{2}{3}} + t^{-\frac{2}{3}} =  タチ 
である。さらに
  \displaystyle t^{\frac{1}{3}} + t^{-\frac{1}{3}} = ツテ  , t – t-1 =  トナニ 
である。

(2) x , y は正の実数とする。連立方程式

……②   \[ \log_3 ( x\sqrt{y} ) \leqq 5  \]

……③   \[ \log_{81} \frac{y}{x^3} \leqq 1 \\   \]

について考える。
 X = log3 x , Y = log3 y とおくと、②は
   ヌ  X + Y ≦  ネノ ……④
と変形でき、③は
   ハ  X – Y ≦  ヒフ ……⑤
と変形できる。
 X , Y が④と⑤を満たすとき、Y のとり得る最大の整数の値は  ヘ  である。また、 x , y が②、③と log3 y =  ヘ  を同時に満たすとき、 x のとり得る最大の整数の値は  ホ  である。

解答

タチ

 そのまま解いてもよいが、分かりやすくするために \displaystyle t^{\frac{1}{3}} = a とおいて考える。すると問題の式は、
  a – 1a = -3
である。これを辺々2乗すると、
  a2 – 2・a・1a + 1a2 = 9
  a2 + 1a2 = 9 + 2 = 11
である。

ツテ

 次に求めるのは、x = a + 1a ( > 0 ) の値である。
 両辺2乗すると、
  x2 = a2 + 2 + 1a2
であり、先程の結果から a2 + 1a2 = 11 を代入すると、
  x2 = 11 + 2
すなわち、求める値は、 x = √13 である。

トナニ

 求める値は a31a3 の値である。
 問題文に与えられた式
  a – 1a = -3
を辺々3乗して、
  a3 – 3a21a + 3a・1a21a3 = -27
  a3 – 3a + 3・1a1a3 = -27
  a3 – 3 ( a –1a ) – 1a3 = -27
より、問題で与えられた式の数値を代入して、
  a31a3 = -27 + 3・(-3) = -36
となる。

ヌネノ

 与えられた式を変形して、

    \begin{align*} &\log_3 x\sqrt{y} \leqq 5 \\ &\log_3 x + \log_3 \sqrt{y} \leqq 5 \\ &\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 y \leqq 5 \end{align*}

より、 2X + Y ≦ 10 である。

ハヒフ

 底の変換公式を利用して、

    \begin{align*} &\log_{81} \frac{y}{x^3} \leqq 1 \\ &\frac{\log_3 y}{\log_3 81} - 3 \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 81} \leqq 1 \\ &\frac{1}{4}Y - \frac{3}{4} X \leqq 1 \end{align*}

を整理して、 3X – Y ≧ -4 である。

 XY軸で④、⑤の条件を満たす領域を描くと以下の通りになる。
 図より、Yがとり得るの最大の整数は、 Y = 7 となる。

 図より Y = 7 を満たす X の範囲は、1 ≦ X ≦ 32 であるから、
  3 ≦ x ≦ 3^{\frac{3}{2}} = √27
となる。これを満たす最大の整数 x = 5 である。

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