a を定数とし、 g ( x ) = x2 – 2 ( 3a2 + 5a ) x + 18a4 + 30a3 + 49a2 + 16 とおく。2次関数 y = g ( x ) のグラフの頂点は
( セ a2 + ソ a , タ a4 + チツ a2 + テト )
である。
a が実数全体を動くとき、頂点の x 座標の最小値は – ナニ ヌネ である。
次に、 t = a2 とおくと、頂点の y 座標は
タ t2 + チツ t + テト
と表せる。したがって、 a が実数全体を動く時、頂点の y 座標の最小値は ノハ である。
解答
セソタチツテト
与えられた式を平方完成すると、
g ( x )
= { x – ( 3a2 + 5a ) }2 – ( 3a2 + 5a )2 + 18a4 + 30a3 + 49a2 + 16
= { x – ( 3a2 + 5a ) }2 + 9a4 + 24a2 + 16
であるから、頂点の座標は、
( 3a2 + 5a , 9a4 + 24a2 + 16 )
ナニヌネ
実数 a に対して、3a2 + 5a の最小値を求めれば良い。平方完成して、
![\[ 3a^2 + 5a = 3 \left( a + \frac{5}{6} \right)^2 - \frac{25}{12} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc0ebb76654f0577358ffcbc6b8fb43e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となるから、最小値は（ a = -5/6 のとき） 
である。
ノハ
求めるのは、 9t2 + 24t + 16 の ( a2 = ) t ≧ 0 の範囲における最小値である。
![\[ 9t^2 + 24t + 16 = 9 \left( t + \frac{4}{3} \right)^2 \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2c152f2ba10b040b583e08bc8cab6b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
であるから、求める最小値は t = 0 のとき 16 となる。
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