2017年センター数学IA 第2問[1]

2017年センター数学IIB
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　△ABCにおいて、 $\text{AB} = \sqrt{3} - 1$ 、 $\text{BC} = \sqrt{3} + 1$ 、∠ABC = 60° とする。

(1)　AC = √　ア　であるから、△ABCの外接円の半径は √　イ　であり
　　sin ∠BAC = √　ウ　 + √　エ　　オ　
である。ただし、　ウ　、　エ　の解答の順序は問わない。

(2)　辺AC上に点Dを、△ABDの面積が $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}$ になるようにとるとき
　　AB・AD = 　カ　 √　キ　 – 　ク　　ケ　
であるから、 AD = 　コ　　サ　である。

解答

ア

2辺と挟む角が分かっていれば、余弦定理

　余弦定理より、

$\begin{align*} \text{AC}^2 &= \text{AB}^2 + \text{BC}^2 -2 \text{AB} \cdot \text{BC} \cos \angle \text{ABC} \\ &=( \sqrt{3}-1)^2 +(\sqrt{3}+1)^2 - 2 \cdot ( \sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{2} \\ &=4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} - 2 \cdot (3-1) \cdot \frac{1}{2} \\ &= 8 - 2 = 6 \end{align*}$

より、 $\text{AC} = \bm{\sqrt{6}}$ 。

イ

外接円の半径は、正弦定理

　求める外接円の半径を R とすると、正弦定理より、

$\frac{\text{AC} }{\sin \angle \text{ABC}} = 2R$

が成り立つ。よって、

$R = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \bm{\sqrt{2}}$

となる。

ウエオ

　同じく正弦定理より、

$\frac{\text{BC}}{\sin \angle \text{BAC}} = \frac{\text{AC}}{\sin \angle \text{ABC}}$

が成り立つので、

$\sin \angle \text{BAC} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} \sin \angle \text{ABC} = \bm{ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} }$

となる。

カキクケ

　三角形の面積の公式より、

$\frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AD} \sin \angle \text{BAC} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

より、

$\begin{align*} \text{AB} \cdot \text{AD} &= \frac{\sqrt{2}}{6} \times 2 \times \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\ &=\frac{4}{3} \frac{1}{\sqrt{3}+1} =\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ &=\bm{\frac{2\sqrt{3} -2}{3} } \end{align*}$

コサ

$\text{AD} = \frac{\text{AB} \cdot \text{AD}}{\text{AB}} = \bm{\frac{2}{3}}$

となる。