2017年 センター数学IA 第1問[1]

2017年 センター数学IIB
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 x は正の実数で、 \displaystyle x^2 + \frac{4}{x^2} = 9 を満たすとする。このとき
  \displaystyle \left( x + \frac{2}{x} \right)^2 =  アイ 
であるから、 \displaystyle x + \frac{2}{x} = √ アイ  である。さらに
  x3 + 8x3 = ( x + 2x ) ( x2 + 4x2 ウ  )
      =  エ  オカ 
である。また
  \displaystyle x^4 + \frac{16}{x^4} =  キク 
である。

解答

アイ

 実際に展開すると、

    \[ \left( x + \frac{2}{x} \right)^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 9 + 4 = \bm{13} \]

である。

ウエオカ

 公式

    \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab + b^2) \]

において、\displaystyle a = x , b = \frac{2}{x} とおいて考えると、

    \begin{align*} x^3 + \frac{8}{x^3} &= \left( x + \frac{2}{x} \right) \left( x^2 - 2 + \frac{4}{x^2} \right) \\ &= \left( x + \frac{2}{x} \right) \left( x^2 + \frac{4}{x^2} - \bm{2} \right) \end{align*}

となり、ここに \displaystyle x + \frac{2}{x} = \sqrt{13} , x^2 + \frac{4}{x^2} = 9を代入して、

    \[ x^3 + \frac{8}{x^3} = \sqrt{13} \times ( 9 - 2 ) = \bm{7\sqrt{13}} \]

となる。

キク

 ■アイと同様の考え方で、ここでは \displaystyle \left( x^2 + \frac{4}{x^2} \right)^2 をくくりだすように式変形して、

    \begin{align*} x^4 + \frac{16}{x^4} &= \left( x^2 + \frac{4}{x^2} \right)^2 - 8 \\ &=9^2 - 8 = \bm{73} \end{align*}

となる。

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