2017年センター数学IA 第1問[1]

2017年センター数学IIB
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　x は正の実数で、 $\displaystyle x^2 + \frac{4}{x^2} = 9$ を満たすとする。このとき
　　 $\displaystyle \left( x + \frac{2}{x} \right)^2$ = 　アイ　
であるから、 $\displaystyle x + \frac{2}{x}$ = √　アイ　である。さらに
　　x³ + 8x³ = ( x + 2x ) ( x² + 4x² – 　ウ　 )
　　　　　　= 　エ　 √　オカ　
である。また
　　 $\displaystyle x^4 + \frac{16}{x^4}$ = 　キク　
である。

解答

アイ

　実際に展開すると、

$\left( x + \frac{2}{x} \right)^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 9 + 4 = \bm{13}$

である。

ウエオカ

　公式

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab + b^2)$

において、 $\displaystyle a = x , b = \frac{2}{x}$ とおいて考えると、

$\begin{align*} x^3 + \frac{8}{x^3} &= \left( x + \frac{2}{x} \right) \left( x^2 - 2 + \frac{4}{x^2} \right) \\ &= \left( x + \frac{2}{x} \right) \left( x^2 + \frac{4}{x^2} - \bm{2} \right) \end{align*}$