2017年 センター数学IA 第5問

2017年 センター数学IIB
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　△ABCにおいて、AB = 3 , BC = 8 , AC = 7 とする。
(1)　辺AC上に点Dを AD = 3 となるようにとり、△ABDの外接円と直線BCの交点でBと異なるものをEとする。このとき、BC・CE = 　アイ　 であるから、CE = 　ウ　　エ　 である。
　直線ABと直線DEの交点をFとするとき、 BFAF = 　オカ　　キ　 であるから、 AF = 　クケ　　コ　 である。

(2)　∠ABC = 　サシ　°である。△ABCの内接円の半径は 　ス　√　セ　　ソ　 であり、△ABCの内心をIとすると、BI = 　タ　√　チ　　ツ　 である。

解答

アイウエ

　方べきの定理より、
　　CB・CE = CA・CD = 7 × 4
より、
　　BC・CE = 28
となり、 BC = 7 より、

    \[ \text{CE} = \frac{28}{8} = \bm{\frac{7}{2}} \]

である。

オカキクケコ

サシ

　余弦定理より、

    \[ \cos \angle \text{ABC} = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{1}{2} \]

より、∠ABC = 60° である。

スセソ

内接円の半径は面積を使って求める

    \[ \triangle \text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \sin 60^{\circ} = 6\sqrt{3} \]

である。内接円の半径を r とすると、

    \[ \frac{1}{2} ( 3 + 8 +7) r = 6\sqrt{3} \]

となるので、\displaystyle r = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \bm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}である。

タチツ

　IからBCに降ろした垂線の足を M とすると、△BMIは ∠IBM = 30° の直角三角形なので、

    \[ \text{BI} \sin 30^{\circ} = \text{IM} \]

より、 \displaystyle \text{BI} = \bm{ \frac{4\sqrt{3}}{3} } となる。

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