2017年センター数学IA 第4問

2017年センター数学IIB
　第1問[1]　第1問[2]　第1問[3]　第2問[1]　第2問[2]　第3問　第4問　第5問
　数学IA講評　PDF　>>数学IIB

(1)　百の位の数が 3 、十の位の数が 7 、一の位の数が a である3桁の自然数を 37a と表記する。
　37a が 4 で割り切れるのは
　　a = 　ア　 , 　イ　
のときである。ただし、　ア　 , 　イ　の解答の順序は問わない。

(2)　千の位の数が 7 、百の位の数が b 、十の位の数が 5 、一の位の数が c である4桁の自然数を 7b5c と表記する。
　7b5c が 4でも 9 でも割り切れる b , c の組は、全部で　ウ　個ある。これらのうち、 7b5c の値が最小になるのは b = 　エ　 , c = 　オ　のときで、 7b5c の値が最大になるのは b = 　カ　 , c = 　キ　のときである。
　また、 7b5c = ( 6 × n )² となる b , c と自然数 n は
　　b = 　ク　 , c = 　ケ　 , n = 　コサ　
である。

(3)　1188の正の約数は全部で　シス　個ある。
　これらのうち、2の倍数は　セソ　個、4の倍数は　タ　個ある。
　1188の全ての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続して　チツ　個並ぶ。

解答

アイ

倍数の判定法は覚えておこう！

　4の倍数となるのは「下2桁が4の倍数のとき」であるから、2桁の数 7a が4の倍数であればよい。すなわち、 72 か 76 であればよいので、 a = 2 , 6 。

ウ

　4の倍数となる条件より、7b5c が4の倍数となるためには下2桁 5c が4の倍数であればよいので、 c = 2 , 6 である必要がある。

　次に、9の倍数となる条件は「各桁の和が9の倍数となる」ことであるから、 7 + b + 5 + c が 9 の倍数となれば良い。

c = 2 のとき
7 + b + 5 + 2 = 14 + b が 9 の倍数となればよく、
0 ≦ b ≦ 9 であることから、 b = 4 となる。
c = 6 のとき
同様に　 18 + b が 9 の倍数となるので、 b = 0 , 9 となる。

　以上より、7b5c が 4でも 9 でも割り切れる b , c の組は、全部で 3 個ある。

エオカキ

　3つの数字は、7056 , 7452 , 7956 であるから、最小の数字は b = 0 , c = 6 のときの 7056 で、最大の数字は b = 9 , c = 6 のときの 7956 である。

クケコサ

　7b5c = ( 6 × n )² より、
　　n² = 7b5c ÷ 36
となるので、3つの数をそれぞれ 36 で割った商が平方数となる（ある自然数の2乗の形で表せる）ものを探す。

　7056 ÷ 36 = 196 で、 196 = 14² より、これが求めるものなので、 b = 0 , c = 6 のときで、 n = 14 である。
　残りの2つも確認すると、
　　7452 ÷ 36 = 207 , 7956 ÷ 36 = 221
となり、いずれも題意を満たさないことが確認できる。

シス

約数の個数は素因数分解して指数を見る

　公式通り解きます。1188を因数分解して、
　　1188 = 2²・3³・11
より、約数の個数は、
　　( 2 + 1 ) × ( 3 + 1 ) × ( 1 + 1 ) = 3 × 4 × 2 = 24個
となります。

セソタ

　2の倍数となるのは因数”2″を含む回数が1回か2回の場合なので、
　　2 × 4 × 2 = 16個
となります。同様に4の倍数となるのは因数”2″を2回含む場合なので、
　　1 × 4 × 2 = 8個
です。

セソタはいい問題です。シスは公式さえ知っていれば解ける問題に対し、セソタは公式の意味を理解しているかどうかを問うています。

チツ

　2進法における末尾に並ぶ0の数は、10進法で考えたときの因数2の個数である。……（※）
　1188の約数のうち、因数2を1個含むもの（2の倍数）は16個、因数2を2個含むもの（4の倍数）は8個、因数2を3個以上含むものは存在しないので、すべての約数をかけ合わせると因数2は全部で24個となる。
　よって、1188の全ての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続して24個並ぶ。

これはセンターレベルを超えて難しかったかと思います。特に（※）の事実に気づかないといけないところが難しいです。また、2の倍数には4の倍数も含まれていることに注意しないといけない部分は、教科書レベルですが、この問題に絡んで出ると焦ってしまいそうです。