2017年 センター数学IA 第4問

2017年 センター数学IIB
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(1) 百の位の数が 3 、十の位の数が 7 、一の位の数が a である3桁の自然数を 37a と表記する。
 37a が 4 で割り切れるのは
  a =  ア  ,  イ 
のときである。ただし、 ア  ,  イ  の解答の順序は問わない。

(2) 千の位の数が 7 、百の位の数が b 、十の位の数が 5 、一の位の数が c である4桁の自然数を 7b5c と表記する。
 7b5c が 4でも 9 でも割り切れる b , c の組は、全部で  ウ  個ある。これらのうち、 7b5c の値が最小になるのは b =  エ  , c =  オ  のときで、 7b5c の値が最大になるのは b =  カ  , c =  キ  のときである。
 また、 7b5c = ( 6 × n )2 となる b , c と自然数 n は
  b =  ク  , c =  ケ  , n =  コサ 
である。

(3) 1188の正の約数は全部で  シス  個ある。
 これらのうち、2の倍数は  セソ 個、4の倍数は タ 個ある。
 1188の全ての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続して  チツ  個並ぶ。

解答

アイ

倍数の判定法は覚えておこう!

 4の倍数となるのは「下2桁が4の倍数のとき」であるから、2桁の数 7a が4の倍数であればよい。すなわち、 72 か 76 であればよいので、 a = 2 , 6

 4の倍数となる条件より、7b5c が4の倍数となるためには下2桁 5c が4の倍数であればよいので、 c = 2 , 6 である必要がある。

 次に、9の倍数となる条件は「各桁の和が9の倍数となる」ことであるから、 7 + b + 5 + c が 9 の倍数となれば良い。

  • c = 2 のとき
    7 + b + 5 + 2 = 14 + b が 9 の倍数となればよく、
    0 ≦ b ≦ 9 であることから、 b = 4 となる。
  • c = 6 のとき
    同様に  18 + b が 9 の倍数となるので、 b = 0 , 9 となる。
 以上より、7b5c が 4でも 9 でも割り切れる b , c の組は、全部で 3 個ある。

エオカキ

 3つの数字は、7056 , 7452 , 7956 であるから、最小の数字は b = 0 , c = 6 のときの 7056 で、最大の数字は b = 9 , c = 6 のときの 7956 である。

クケコサ

 7b5c = ( 6 × n )2 より、
  n2 = 7b5c ÷ 36
となるので、3つの数をそれぞれ 36 で割った商が平方数となる(ある自然数の2乗の形で表せる)ものを探す。

 7056 ÷ 36 = 196 で、 196 = 142 より、これが求めるものなので、 b = 0 , c = 6 のときで、 n = 14 である。
 残りの2つも確認すると、
  7452 ÷ 36 = 207 , 7956 ÷ 36 = 221
となり、いずれも題意を満たさないことが確認できる。

シス

約数の個数は素因数分解して指数を見る

 公式通り解きます。1188を因数分解して、
  1188 = 22・33・11
より、約数の個数は、
  ( 2 + 1 ) × ( 3 + 1 ) × ( 1 + 1 ) = 3 × 4 × 2 = 24個
となります。

セソタ

 2の倍数となるのは因数”2″を含む回数が1回か2回の場合なので、
  2 × 4 × 2 = 16個
となります。同様に4の倍数となるのは因数”2″を2回含む場合なので、
  1 × 4 × 2 = 8個
です。

セソタはいい問題です。シスは公式さえ知っていれば解ける問題に対し、セソタは公式の意味を理解しているかどうかを問うています。

チツ

 2進法における末尾に並ぶ0の数は、10進法で考えたときの因数2の個数である。……(※)
 1188の約数のうち、因数2を1個含むもの(2の倍数)は16個、因数2を2個含むもの(4の倍数)は8個、因数2を3個以上含むものは存在しないので、すべての約数をかけ合わせると因数2は全部で24個となる。
 よって、1188の全ての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続して24個並ぶ。

これはセンターレベルを超えて難しかったかと思います。特に(※)の事実に気づかないといけないところが難しいです。また、2の倍数には4の倍数も含まれていることに注意しないといけない部分は、教科書レベルですが、この問題に絡んで出ると焦ってしまいそうです。

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