2020年センター数学IA 第4問

2020年センター数学IA
　第1問[1]　第1問[2]　第1問[3]　第2問[1]　第2問[2]　第3問[1]　第3問[2]　第4問　第5問
　数学IA講評　PDF　>>数学IIB

(1)　x を循環小数 $2.\dot{3}\dot{6}$ とする。すなわち、
　　x = 2.363636……
とする。このとき、
　　 $100 \times x - x = 236.\dot{3}\dot{6} -2.\dot{3}\dot{6}$
であるから、 x を分数で表すと、
　　x = 　アイ　　ウエ　
である。

(2)　有理数 y は、7進法で表すと、二つの数字の並びabが繰り返し現れる循環小数 $2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ になるとする。ただし、 a , b は 0 以上 6 以下の異なる整数である。このとき
　　 $49 \times y - y = 2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)} -2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$
であるから、
　　y = 　オカ　 + 7 × a + b 　キク　
と表せる。

(i)　y が分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは
　　y = 　ケ　4 または y = 　コサ　4
のときである。 y = 　コサ　4 のときは、 7 × a + b = 　シス　であるから、
　　a = 　セ　 , b = 　ソ　
である。

(ii)　y – 2 は、分子が 1 で、分母が 2 以上の整数である分数で表されるとする。このような y の個数は、全部で　タ　個である。

解答

アイウエ

　問題の式より、
　　99x = 234
となるので、 $\displaystyle x = \frac{234}{99} = \bm{\frac{26}{11}}$ となる。

オカキク

※N進法における循環小数の扱いは、きちんと書くともう少し長くなるので、以下では次のように理解してみてください。

　与えられた式の右辺は、7進法であらわしたときに、
　　・49の位（10進法でいえば、100の位に相当）が、 2
　　・7の位（10進法でいえば、10の位に相当）が、　a
　　・1の位（10進法でも1の位）が、 b – 2
となる数字である。位ごとに[ ]で区切って無理に書くと、
　　[2] [a] [b-2]₍₇₎
となる。これを10進法で表すと、
　　[2] [a] [b-2]₍₇₎ = 2 × 7² + a × 7 + ( b – 2 )
　　　　　　　　　= 98 + 7a + b – 2
　　　　　　　　　= 96 + 7a + b
となる。
　よって、与えられた式を10進法で整理すると、
　　48y = 96 + 7a + b
すなわち、
　　y = 96 + 7×a + b48
と表せる。

ケコサ

　y の分母が 4 ということは、先の分数の分母分子が12で約分できるということなので、分子は12の倍数。すなわち、
　　96 + 7a + b = 12m’ ( m’ は整数）
となるということ。96はもともと12の倍数なので、
　　7a + b = 12m ( m は整数）
として考えてよい。不定方程式であるが、 a , b は0以上6以下の異なる整数であるという条件があるので、しらみつぶしに探したほうが早い。
　いまの条件を念頭に、a を動かしながらbを求めると、
　a = 0 のとき、 b = 0 となり、異なる整数であることに反するので不適。
　a = 1 のとき、 b = 5 となり、これは題意を満たす。
　a = 2 のとき、 b が存在しない（ b = 10 などでしか成り立たないが範囲外）となり、これも不適。
　a = 3 のとき、 b = 3 となり、異なる整数であることに反するので不適。
　a = 4 のとき、 b が存在しない（ b = 8 となってしまい範囲外）ので不適。
　a = 5 のとき、 b = 1 で題意を満たす。
　a = 6 のとき、 b = 6 でこれも異なる整数でないため不適。

以上より、求める解は以下の2つ。
　a = 1 , b = 5 のとき、
　　y = 96+7+548 = 10848 = 94

　a = 5 , b = 1 のとき、
　　y = 96+35+148 = 13248 = 114

シスセソ

　先程求めたとおり、 7×a = b = 35 + 1 = 36 であり、 a = 5, b = 1 です。
　急がば回れでした。しらみつぶしに探したおかげでここは簡単。

タ

　y – 2 = 7a + b48 です。
　分子が1となるということは、分子が48の約数のいずれかになっているということです。

　48の約数は 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48 であるから、これもしらみつぶしに確認します。

　7a + b = 48 の場合は、分母も 1 になってしまうので不適。
　7a + b = 24 のとき、 a = 3 , b = 3 は不適。
　7a + b = 16 のとき、 a = 2 , b = 2 で不適。
　7a + b = 12 のとき、 a = 1 , b = 5 で題意を満たす。
　7a + b = 8 のとき、 a = 1 , b = 1 で不適。
　7a + b = 6 のとき、 a = 0 , b = 6 で題意を満たす。
　7a + b = 4 のとき、 a = 0 , b = 4 で題意を満たす。以下、3 , 2 , 1 も同様。

　以上より、題意を満たすのは、 7a + b = 12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 の6個である。