2020年 センター数学IA 第4問

(1) x を循環小数 2.\dot{3}\dot{6} とする。すなわち、
  x = 2.363636……
とする。このとき、
  100 \times x - x = 236.\dot{3}\dot{6} -2.\dot{3}\dot{6}
であるから、 x を分数で表すと、
  x =  アイ  ウエ 
である。

(2) 有理数 y は、7進法で表すと、二つの数字の並びabが繰り返し現れる循環小数 2.\dot{a}\dot{b}_{(7)} になるとする。ただし、 a , b は 0 以上 6 以下の異なる整数である。このとき
  49 \times y - y = 2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)} -2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}
であるから、
  y =  オカ  + 7 × a + b  キク 
と表せる。

(i) y が分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは
  y =  ケ 4 または y =  コサ 4
のときである。 y =  コサ 4 のときは、 7 × a + b =  シス  であるから、
  a =  セ  , b =  ソ 
である。

(ii) y – 2 は、分子が 1 で、分母が 2 以上の整数である分数で表されるとする。このような y の個数は、全部で  タ  個である。

解答

アイウエ

 問題の式より、
  99x = 234
となるので、 \displaystyle x = \frac{234}{99} = \bm{\frac{26}{11}} となる。

オカキク

※N進法における循環小数の扱いは、きちんと書くともう少し長くなるので、以下では次のように理解してみてください。

 与えられた式の右辺は、7進法であらわしたときに、
  ・49の位(10進法でいえば、100の位に相当)が、 2
  ・7の位(10進法でいえば、10の位に相当)が、 a
  ・1の位(10進法でも1の位)が、 b – 2
となる数字である。位ごとに[ ]で区切って無理に書くと、
  [2] [a] [b-2](7)
となる。これを10進法で表すと、
  [2] [a] [b-2](7) = 2 × 72 + a × 7 + ( b – 2 )
         = 98 + 7a + b – 2
         = 96 + 7a + b
となる。
 よって、与えられた式を10進法で整理すると、
  48y = 96 + 7a + b
すなわち、
  y = 96 + 7×a + b48
と表せる。

ケコサ

 y の分母が 4 ということは、先の分数の分母分子が12で約分できるということなので、分子は12の倍数。すなわち、
  96 + 7a + b = 12m’ ( m’ は整数)
となるということ。96はもともと12の倍数なので、
  7a + b = 12m ( m は整数)
として考えてよい。不定方程式であるが、 a , b は0以上6以下の異なる整数であるという条件があるので、しらみつぶしに探したほうが早い。
 いまの条件を念頭に、a を動かしながらbを求めると、
 a = 0 のとき、 b = 0 となり、異なる整数であることに反するので不適。
 a = 1 のとき、 b = 5 となり、これは題意を満たす。
 a = 2 のとき、 b が存在しない( b = 10 などでしか成り立たないが範囲外)となり、これも不適。
 a = 3 のとき、 b = 3 となり、異なる整数であることに反するので不適。
 a = 4 のとき、 b が存在しない( b = 8 となってしまい範囲外)ので不適。
 a = 5 のとき、 b = 1 で題意を満たす。
 a = 6 のとき、 b = 6 でこれも異なる整数でないため不適。

以上より、求める解は以下の2つ。
 a = 1 , b = 5 のとき、
  y = 96+7+548 = 10848 = 94

 a = 5 , b = 1 のとき、
  y = 96+35+148 = 13248 = 114

シスセソ

 先程求めたとおり、 7×a = b = 35 + 1 = 36 であり、 a = 5, b = 1 です。
 急がば回れでした。しらみつぶしに探したおかげでここは簡単。

 y – 2 = 7a + b48 です。
 分子が1となるということは、分子が48の約数のいずれかになっているということです。

 48の約数は 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48 であるから、これもしらみつぶしに確認します。

 7a + b = 48 の場合は、分母も 1 になってしまうので不適。
 7a + b = 24 のとき、 a = 3 , b = 3 は不適。
 7a + b = 16 のとき、 a = 2 , b = 2 で不適。
 7a + b = 12 のとき、 a = 1 , b = 5 で題意を満たす。
 7a + b = 8 のとき、 a = 1 , b = 1 で不適。
 7a + b = 6 のとき、 a = 0 , b = 6 で題意を満たす。
 7a + b = 4 のとき、 a = 0 , b = 4 で題意を満たす。以下、3 , 2 , 1 も同様。

 以上より、題意を満たすのは、 7a + b = 12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 の6個である。

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