自然数 n に関する三つの条件 p , q , r を次のように定める。
p : n は 4 の倍数である
q : n は 6 の倍数である
r : n は 12 の倍数である
条件 p , q , r の否定をそれぞれ p , q , r で表す。
条件 p を満たす自然数全体の集合を P とし、条件 q を満たす自然数全体の集合を Q とし、条件 r を満たす自然数全体の集合を R とする。自然数全体の集合を全体集合とし、集合 P , Q , R の補集合をそれぞれ P , Q , R で表す。
(1) 次の ス に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
32 ∈ ス である。
⓪ P∩Q∩R ① P∩Q∩R ② P∩R
③ P∩Q ④ P∩Q∩R ⑤ P∩QR
(2) 次の タ に当てはまるものを、下の⓪～④のうちから一つ選べ。
P ∩ Q に属する自然数のうち最小のものは セソ である。
また、 セソ タ R である。
⓪ = ① ⊂ ② ⊃ ③ ∈ ④ ∉
(3) 次の チ に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つ選べ。
自然数 セソ は、命題 チ の反例である。
⓪ 「（ p かつ q ）⇒ r 」
①「（ p または q ）⇒ r 」
②「 r ⇒ （ p かつ q ）」
③「（ p かつ q ）⇒ r」
解答
ス
32は P の要素であるから、⓪、①、②のいずれかである。
ただし Q には含まれないので、 Q の要素であるから、⓪と①ではない。
よって、②が正解。
セソ
4の倍数かつ6の倍数の最小の数、すなわち4と6の最小公倍数は 12 である。
タ
12は24の倍数ではないので、 12 ∉ R である。当てはまるのは ④ ∉ である。
チ
ここまでの流れで、条件 ( p かつ q ) を満たすものの中に、条件 r を満たさないものがある、ということがわかる。
すなわち、 ( p かつ q ) ⇒ r とは限らない、ということを示しているので、 ③ の反例だといえる。
コメント