2018年センター数学IA 第3問

2018年センター数学IA
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　一般に、事象Aの確率をP(A)で表す。また、事象Aの余事象をAと表し、二つの事象A,Bの積事象をA∩Bと表す。
　大小2つのさいころを同時に投げる試行において
　　Aを「大きいさいころについて、4の目が出る」という事象
　　Bを「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象
　　Cを「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象
とする。

(1)　事象 A , B , C の確率は、それぞれ
　　P ( A ) = 　ア　　イ　 , P ( B ) = 　ウ　　エ　 , P ( C ) = 　オ　　カ　
である。

(2)　事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き確率は　キ　　ク　であり、事象Aが起こったときの事象Cが起こる条件付き確率は　ケ　　コ　である。

(3)　次の　サ　、　シ　に当てはまるものを、下の⓪～②のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。
　　P ( A ∩ B ) 　サ　 P ( A ) P ( B )
　　P ( A ∩ C ) 　シ　 P ( A ) P ( C )

　⓪　<　　①　=　　②　>

(4)　大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す。1回目に事象 A ∩ B が起こり、2回目に事象 A ∩ C が起こる確率は　ス　　セソタ　である。三つの事象 A , B , C がいずれもちょうど1回ずつ起こる確率は　チ　　ツテ　である。

解答

アイウエオカ

　出る目の全パターン（事象）は 6×6 = 36パターン。これらのうち、事象 A , B , C となる事象の場合の数を求める。

P ( A ) について：
　( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 )
の6通りなので、 $\displaystyle P(A)=\frac{6}{36} = \bm{\frac{1}{6}}$ である。

P ( B ) について：
　( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 )
の6通りなので、 $\displaystyle P(B)=\frac{6}{36} = \bm{\frac{1}{6}}$ である。

P ( C ) について：
　( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 3 , 6 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 3 )
の4通りなので、 $\displaystyle P(B)=\frac{4}{36} = \bm{\frac{1}{9}}$ である。

キクケコ

　事象Cが起こるのは、
　( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 3 , 6 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 3 )
であり、この中で事象Aを満たすのは、 ( 4 , 5 ) のみ。よって、 $\displaystyle \bm{\frac{1}{4}}$ である。

　同様に、事象Aが起こるのは、
　( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 )
であり、この中で事象Cを満たすのは、 ( 4 , 5 ) のみ。よって、 $\displaystyle \bm{\frac{1}{6}}$ である。

サシ

　A ∩ B とは ( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 4 , 3 ) ということだから、

$P ( A \cap B ) = \frac{1}{36}$

である。また、 $\displaystyle P ( A) P(B) = \frac{1}{36}$ より、P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) である。①が正解。

　A ∩ C とは ( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 4 , 5 ) ということだから、

$P ( A \cap B ) = \frac{1}{36}$

である。また、 $\displaystyle P ( A) P(C) = \frac{1}{54}$ より、P ( A ∩ B ) > P ( A ) P ( B ) である。②が正解。

スセソタ

　A ∩ C とは ( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 3 , 6 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 3 ) ということだから、

$P ( \overline{A} \cap C ) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

である。 $\displaystyle P ( A \cap B ) = \frac{1}{36}$ だったので、求める確率は、

$\frac{1}{36} \times \frac{1}{12} = \bm{\frac{1}{432}}$

となる。

チツテ

　三つの事象 A , B , C がちょうど1回ずつ起こるというのは、
　　(i)「A ∩ B」と「A ∩ C」が起こる
　　(ii)「A ∩ B」と「A ∩ C」が起こる
の2パターンあるので、それぞれの確率について考える。

(i)　「A ∩ B」と「A ∩ C」が起こる
　1回目に「A ∩ B」が起こり、2回目に「A ∩ C」が起こる確率は、今求めたとおり、 $\displaystyle \frac{1}{432}$ である。
　その逆の順序で起こる場合もあるので、求める確率は $\displaystyle \frac{1}{432} \times 2 = \frac{1}{216}$ である。

(ii)　「A ∩ B」と「A ∩ C」が起こる
　1回目に「A ∩ B」が起こり、2回目に「A ∩ C」が起こる確率を求める。
　A ∩ B とは ( 大の出目 , 小の出目 ) = ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) ということだから、

$P ( \overlien{A} \cap B ) = \frac{5}{36}$