外接円の半径が 3 である△ABC を考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
(1) AB = 5 , BC = 4 とする。このとき
sin∠ABC = ソ タ , AD = チツ テ
である。
(2) 2辺 AB , AC の長さの間に 2AB + AC =14 の関係があるとする。このとき、 AB の長さのとり得る範囲は ト ≦ AB ≦ ナ であり
AD = ニヌ ネ AB2 + ノ ハ AB
と表せるので、ADの長さの最大値は ヒ である。
解答
ソタチツテ
正弦定理より、
sin∠ABC = AC2R = 32・3 = 23
であり、
AD = AB×sin∠ABC = 5・23 = 103
トナ
正直、どこまでの条件で範囲を絞ればよいのか流れが分かりづらい。 2AB + AC = 14 であり、 AB ≧ 0 , AC ≧ 0 であることから 0 ≦ AB ≦ 7 とだけすると、あとの計算で合わないことから、もっと強い条件が必要であることがわかる。
いま、正弦定理より、
AB = 2R sin∠ACB = 6sin∠ACB
より、 0 ≦ AB ≦ 6 である。同様に、 0 ≦ BC ≦ 6 , 0 ≦ CA ≦ 6 である。また、条件より、
AB = 7 – AC2 ≧ 4
でもある。よって AB の長さの取りうる値の範囲は、
4 ≦ AB ≦ 6
である。
ニヌネノハ
AD = ABsin∠ABC
= AB × AC2R
= AB × 14 – 2AB6
= -13 AB2 + 73 AB
である。
ヒ
AB = x とおいて、
AD = – 13 ( x – 72 )2 + 4912
となる。 4 ≦ AB ≦ 6 であることから、 x = 4 のとき、最大値を取り、その値は、
- 13 × 14 + 4912 = 4
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