2016年センター数学IIB 第1問[1]

2016年センター数学IIB
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(1)　 $8^{\frac{5}{6}}$ = 　ア　 √ 　イ　 , log₂₇ 19 = 　ウエ　　オ　である。

(2)　y = 2^x のグラフと $y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$ のグラフは　カ　である。
　y = 2^x のグラフと y = log₂ x のグラフは　キ　である。
　y = log₂ x のグラフと $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフは　ク　である。
　y = log₂ x のグラフと $y = \log_2 \dfrac{1}{x}$ のグラフは　ケ　である。
　
　　カ　～　ケ　に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
　
　⓪　同一のもの　　　　　　　①　x 軸に関して対称
　②　y 軸に関して対称　　　　③　直線 y = x に関して対称
　
(3)　 $x > 0$ の範囲における関数 $y = \left( \log_2 \dfrac{x}{4} \right)^2 - 4\log_2 x + 3$ の最小値を求めよう。
　t = log₂ x とおく。このとき、 y = t² – 　コ　 t + 　サ　である。また、 x が $x > 0$ の範囲を動くとき、 t のとり得る値の範囲は　シ　である。　シ　に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
　
　⓪　 $t >0$ 　　　　　　　　　①　 $t >1$
　②　 $t>0$ かつ t ≠ 1　　　　③　実数全体
　
　したがって、 y は t = 　ス　のとき、すなわち x = 　シ　のとき、最小値　ソタ　をとる。

解答

アイウエオ

　前半は、

$8^{\frac{5}{6}} = 2^{(3 \cdot \frac{5}{6} )} = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{32} = \bm{4\sqrt{2}}$

となる。後半は底の変換公式より、

$\log_{27} \frac{1}{9} = \frac{\log_3 \frac{1}{9}}{\log_3 27} = \bm{\frac{-2}{3}}$

となる。

カキクケ

　実際のグラフを描きながら解答します。グラフは後日追加します。
　順に、②、③、①、①となる。

コサ

　与えられた式を変形すると、

$\begin{align*} y &= \left( \log_2 \frac{x}{4} \right)^2 - 4\log_4 x + 3 \\ &=( \log_2 x - \log_2 4 )^2 - 4 \frac{\log_2 x}{\log_2 4} + 3 \\ &=( t-2)^2 -2t +3 \\ &=t^2 -\bm{6}t + \bm{7} \end{align*}$

となる。

シ

　 x > 0 の範囲において、t = log₂ x のとり得る範囲は③実数全体。

スセソタ

　y = ( t – 3 )² – 2 と変形できるから、すべての t についてこの関数の最小値は、
　　t = 3 すなわち x = 8 のとき、最小値 -2 をとる。