2016年センター数学IIB 第3問

2016年センター数学IIB
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　真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

$\frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{2}{3} , \frac{1}{4} , \frac{2}{4} , \frac{3}{4} , \frac{1}{5} , \cdots$

を { a_n } とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は、回答上の注意にもあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1)　a₁₅ = 　ア　　イ　である。また、分母に初めて 8 が現れる項は、 a_ウエである。

(2)　k を 2 以上の自然数とする。数列 { a_n } において、 $\displaystyle \frac{1}{k}$ が初めて現れる項を第 M_k 項とし、 $\displaystyle \frac{k-1}{k}$ が初めて現れる項を第 N_k 項とすると
　　M_k = 　オ　　カ　 k² – 　キ　　ク　 k + 　ケ　
　　N_k = 　コ　　サ　 k² – 　シ　　ス　 k
である。よって、 a₁₀₄ = 　セソ　　タチ　である。

(3)　k を 2 以上の自然数とする。数列 { a_n } の第 M_k 項から第 N_k 項までの和は、　ツ　　テ　 k – 　ト　　ナ　である。したがって、数列 { a_n } の初項から第 N_k 項までの和は
　　　ニ　　ヌ　 k² – 　ネ　　ノ　 k
である。よって
　　 $\displaystyle \sum_{n=1}^{103} a_n$ = 　ハヒフ　　ヘホ　
である。

解答

アイウエ

　まずはじめは、様子を見るためにも書き出します。あとで便利なように、“群”に分けます。

$\frac{1}{2} \left| \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right| \frac{1}{4} , \frac{2}{4} ,\frac{3}{4} \left| \frac{1}{5} , \frac{2}{5} , \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right| \frac{1}{6} , \frac{2}{6} ,\frac{3}{6} , \frac{4}{6} , \underbrace{\frac{5}{6}}_{a_{15}} \left| \frac{1}{7} , \frac{2}{7} ,\frac{3}{7} , \frac{4}{7} , \frac{5}{7} , \frac{6}{7} \right| \underbrace{\frac{1}{8}}_{a_{22}} \cdots$

となることより、 $\displaystyle a_{15} = \bm{\frac{5}{6}}$ であり、はじめて分母に8が現れる項は a₂₂である。

オカキクケコサシス

群数列を解くときは、まず初めに、

第 m 群とはなにか（性質）

第 m 群の項数

第 m 群の初項は初めから数えて何項目か

第 m 群の末項は初めから数えて何項目か
を確認してから解くのがコツ！

■第 m 郡の性質
　第 m 群の性質は、「分母が m + 1 となる分数が、 $\dfrac{1}{m+1} , \dfrac{2}{m+1 } , \cdots \dfrac{m}{m+1}$ まで集まったもの」といえる。逆に、分母が k のものは、第 k – 1 群ともいえる。

■第 m 郡の項の数
　第 m 群の項数は、具体例を見てもわかるが、m 個である。

■第 m 群の初項/末項は初めから数えて何項目か
　さきに第 m 項の末項は初めから数えて何項目かを考える。これは、第 1 群から第 m 群までの群の項数を足し合わせたものである。群の項数はうえで求めたとおりで、
　　 $1 + 2 + \cdots + m = \dfrac{1}{2}m(m+1)$ 　……①
となる。
　最後に、第 m 群の初項は、第 m – 1 群の末項の次の番目になる。第 m – 1 群の末項は、①の m を m – 1 に置き換えたものだから、
　　 $\dfrac{1}{2} (m-1) m + 1$ 　……②
となる。

ここまでが下準備。群数列の問題では、これらを先に押さえておくと良い。（あとの問題を機械的に処理できることが多い。）

　さて、問題文にある M_k とは、第 k – 1 群の初項のことである。それは②の m を k – 1 に置き換えれば良いので、

$M_k = \dfrac{1}{2} (k-2)(k-1) + 1 = \bm{\frac{1}{2} k^2 - \frac{3}{2} k + 2}$

となる。
　つぎに、問題文にある N_k とは、第 k – 1 群の末項のことであり、それは①の m を k – 1 に置き換えれば良いので、

$N_k = \frac{1}{2} (k-1) k = \bm{ \frac{1}{2} k^2 - \frac{1}{2} k }$

となる。

セソタチ

　第104項に近いあたりで、ちょうどある群の末項になるものを探す。（初項になるものを探しても良い。）
　①式に m = 14 を代入すると、 $\dfrac{1}{2} 14 \cdot 15 = 105$ となるので、第 14 群の末項は初めから数えて 105 項目であることが分かる。第 m 項の最後の項は、 $\dfrac{14}{15}$ であるから、
　　 $a_{105} = \dfrac{14}{15}$
である。よって、 $\displaystyle a_{104} = \bm{\frac{13}{15}}$ である。

ツテトナ

　第 M_k 項から第 N_k 項の和は、

$\begin{align*} &\frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \cdots + \frac{k-1}{k} \\ &=\frac{1}{k} (1 + 2 + \cdots + (k-1) \} \\ &=\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2} k (k-1) \\ &=\bm{\frac{1}{2} k - \frac{1}{2} } \end{align*}$

となる。
　これは、分母が k である群（第 k – 1 群）のすべての分数の和ということである。

ニヌネノ

　今求めたものを、 k を 1 から k まで足し合わせればよい。式で表すと、

$\begin{align*} &\left( \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \right) +\left( \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2} \cdot k - \frac{1}{2} \right) \\ &=\sum_{l=1}^k \left( \frac{1}{2} l - \frac{1}{2} \right) \end{align*}$

となるのでこれを計算して、

$\begin{align*} &\sum_{l=1}^k \left( \frac{1}{2} l - \frac{1}{2} \right) \\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} k ( k +1) - \frac{1}{2} k \\ &=\bm{\frac{1}{4}k^2 - \frac{1}{4}k} \end{align*}$