a , b を定数とするとき、 x についての不等式
| ax – b – 7 | < 3……①
を考える。
(1) a = -3 , b = -2 とする。①を満たす整数全体の集合を P とする。この集合Pを、要素を書き並べて表すと
P = { アイ , ウエ }
となる。ただし、 アイ , ウエ の解答の順序は問わない。
(2) a = 1√2 とする。
(i) b = 1 のとき、①を満たす整数は全部で オ 個である。
(ii) ①を満たす整数が全部で ( オ + 1 ) 個であるような正の整数 b のうち、最小のものは カ である。
解答
アイウエ
a = -3 , b = -2 を代入すると、
| -3x – 5 | < 3
より、
-3 < -3x – 5 < 3
2 < -3x < 8
を両辺 -3 で割って（負の数で割るので不等号の向きに注意して）、
- 83 < x < – 23
より、これを満たす整数は x = -2 , -1 である。
オ
同様に a = 1√2 , b = 1 を代入すると、
| 1√2 x – 8 | < 3
を整理して、
5 < 1√2 x < 11
5√2 < x < 11√2
となる。 √2 = 1.41… であることから、
5√2 = 7.… , 11√2 = 15.…
であるから、
7.… < x < 15.…
すなわち、
8 ≦ x ≦ 15
であるから、これを満たす整数は（8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15の） 8 個である。
カ
先程のような計算をしたときに、①を満たす整数が 9個 になるような b の最小値を求めれば良い。
求めるのは b の最小値なので、 b の値を少しずつ大きくしていき、題意を満たす b を求める。
（ b = 1 は先程確認したので、b = 2 から見ていけばよく、）b = 2 のとき、
6√2 < x < 12√2
である。 6√2 = 8.… , 12√2 = 16.… であるから、
9 ≦ x ≦ 16
となるが、これを満たす整数 x の個数は 8個 なので題意を満たさない。
b = 3 のとき、
7√2 < x < 13√2
である。 8√2 = 9.… , 13√2 = 18.… であるから、
10 ≦ x ≦ 18
となり、これを満たす整数 x の個数は 9個となり題意を満たす。よって求める最小の b は b = 3 である。
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