2014年 センター数学IA 第2問

問題

解答

アイウエオ

2次関数の頂点

2次関数の頂点は平方完成して求める

　平方完成すると、
　　y=x² + 2ax + 3a² – 6a – 36
　　　= ( x + a )² + 2a² – 6a – 36
であるから、頂点は
　　( –a, 2a² – 6a – 36 )　…(a)
である。

カキク

　問題文より、pはGのy切片であり、与えられた式にx=0を代入して、
　　p = 3a² – 6a – 36　…(b)
である。よって、
　　3a² – 6a – 36 = -27
　　3a² – 6a – 9 = 0
　　a² – 2a – 3 = 0
　　( a+ 1 ) ( a – 3 ) = 0
となり、 a = 3, -1 である。

ケコ

平行移動は、頂点の移動を考える

　(a)式を用いて、

• a=3のときの頂点は、
  　　( -3 , 2・3² – 6・3 – 36 ) = ( -3 , -36 )
  
• a=-1のときの頂点は
  　　( – ( -1 ) , 2・(-1)² – 6・( -1 ) – 36 ) = ( 1 , -28 )

より、 ( -3 , -36 ) を ( 1 , -28 ) に移動するために、x方向に4、y方向に8移動すれば良い。

サシスセソ

x軸との共有点は、y = 0 との連立方程式で考える

　x軸と共有点を持つということは、連立方程式
　　y=x² + 2ax + 3a² – 6a – 36
　　y=0
すなわち
　　x² + 2ax + 3a² – 6a – 36 = 0
が解を持つということである。それは判別式を考えて、
　　　D/4 = a² – ( 3a² – 6a – 36 ) ≧ 0
　　　　　-2a² + 6a + 36 ≧ 0
　　　　　　a² – 3a – 18 ≦ 0
　　　　　　( a + 3 )( a – 6 ) ≦ 0
より、
　　 -3 ≦ a ≦ 6 　…(c)
が正解。（スセはともに。）

タチツテトナニ

　問題文と(b)式より、
　　p = 3a² – 6a – 36 （ -3 ≦ a ≦ 6 ）
の最大値と最小値を求める。
　　p = 3 ( a – 1 )² – 39
より、
　　a=1のとき最小値-39
　　a=5のとき最大値36
をとる。

ヌネノハヒフヘ

解の配置問題?解の配置は3条件

　-1より大きいところで交わるためには、

• 解を持つ条件：判別式が正
  
• 軸の条件：軸のx座標が-1より大きい
  
• ポイントの条件：x=-1のときのyの値が正

を調べれば良い。

　1つ目の判別式はすでに解いており、(c)より、
　　-3 ≦ a ≦ 6　…改めて(c)

　2つ目の条件は、軸の x 座標が -1 より大きいことより、 -a ≧ -1 すなわち
　　a ≦ 1　…(d)
　3つ目の条件は、 x = -1 のときに y > 0 を満たしていればよく、

(e)  

となる。(c)?(e)の条件から、求める解答は、

　　
となる。（ノハは順に 、 。）