2019年センター数学IA 第1問[1]

共通テスト・センター数学

2019.01.202019.11.23

2019年センター数学IA
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　a を実数とする。
　9a² – 6a +1 = ( 　ア　 – 　イ　 )² である。つぎに、

$A = \sqrt{9a^2 -6a + 1} + |a+2|$

とおくと、
　　＝＝画像準備中＝＝
である。

　次の三つの場合に分けて考える。
　・ $\displaystyle a > \frac{1}{3}$ のとき、A = 　ウ　 a + 　エ　である。
　・ $\displaystyle -2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき、A = 　オカ　 a + 　キ　である。
　・a < -2 のとき、 A = – 　ウ　 a – 　エ　である。

　A = 2a + 13 となる a の値は
　　　ク　 , 　ケコ　　サ　
である。

解答

アイ

　因数分解で、
　　9a² – 6a +1 = ( 3a – 1 )²
である。

ウエオカキ

　ここで、 $\sqrt{X^2} = |X|$ より、
　　A = | 3a – 1 | + | a + 2 |
となる。また、絶対値の外し方は、
　　| X | = X ( X > 0 )
　　　　　= -X ( X < 0 )
となるので、それぞれ以下のように場合分けして絶対値を外す。

　a > 1/3 のとき
　　A = ( 3a – 1 ) + ( a + 2 ) = 4a + 1
　-2 ≦ a ≦ 1/3 のとき
　　A = – ( 3a + 1 ) + ( a + 2 ) = -2a + 3
　a < -2 のとき
　　A = – ( 3a + 1 ) – ( a + 2 ) = -4a – 1

クケコサ

　ここまでの場合分けをそのまま利用します。

　a > 1/3 のとき
　　4a + 1 = 2a + 13 を解いて、 a = 6 。これは a > 1/3 を満たすので解の一つ。

　-2 ≦ a ≦ 1/3 のとき
　　-2a + 3 = 2a + 13
　　-4a = 10
より、 a = -5/2 となるが、これは -2 ≦ a ≦ 1/3 を満たさない。

　a < -2 のとき
　　-4a – 1 = 2a + 13
　　-6a = 14
より、 a = -7/3 で、これは a < -2 を満たすので、これも解となる。

以上より、求める解は、 $\displaystyle a = \bm{ 6 , \frac{-7}{3} }$ である。