2019年 センター数学IA 第1問[1]

 a を実数とする。
 9a2 – 6a +1 = (  ア  イ  )2 である。つぎに、

\[ A = \sqrt{9a^2 -6a + 1} + |a+2| \]

とおくと、
  ==画像準備中==
である。

 次の三つの場合に分けて考える。
 ・\displaystyle a > \frac{1}{3}のとき、A =  ウ  a +  エ  である。
 ・\displaystyle -2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}のとき、A =  オカ  a +  キ  である。
 ・a < -2 のとき、 A = –  ウ  a –  エ  である。

 A = 2a + 13 となる a の値は
   ク  ,  ケコ  サ 
である。

解答

アイ

 因数分解で、
  9a2 – 6a +1 = ( 3a – 1 )2
である。

ウエオカキ

 ここで、\sqrt{X^2} = |X|より、
  A = | 3a – 1 | + | a + 2 |
となる。また、絶対値の外し方は、
  | X | = X ( X > 0 )
     = -X ( X < 0 )
となるので、それぞれ以下のように場合分けして絶対値を外す。

 a > 1/3 のとき
  A = ( 3a – 1 ) + ( a + 2 ) = 4a + 1
 -2 ≦ a ≦ 1/3 のとき
  A = – ( 3a + 1 ) + ( a + 2 ) = -2a + 3
 a < -2 のとき
  A = – ( 3a + 1 ) – ( a + 2 ) = -4a – 1

クケコサ

 ここまでの場合分けをそのまま利用します。

 a > 1/3 のとき
  4a + 1 = 2a + 13 を解いて、 a = 6 。これは a > 1/3 を満たすので解の一つ。

 -2 ≦ a ≦ 1/3 のとき
  -2a + 3 = 2a + 13
  -4a = 10
より、 a = -5/2 となるが、これは -2 ≦ a ≦ 1/3 を満たさない。

 a < -2 のとき
  -4a – 1 = 2a + 13
  -6a = 14
より、 a = -7/3 で、これは a < -2 を満たすので、これも解となる。

以上より、求める解は、 \displaystyle a = \bm{ 6 , \frac{-7}{3} } である。

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