2019年 センター数学IA 第3問

2019年 センター数学IA
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 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。
 最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、直前に取り出した玉の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。

(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は  ア  イ  であり、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は  ウ  エ  である。

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は  オ  カキ  である。

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を p で表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は  ク  ケ  p + 13 と表される。
 よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は  コサ  シスセ  である。
 同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は  ソタチ  ツテト  である。

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は  ナニ  ヌネ  である。
 また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、初めて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は  ノハ  ヒフヘ  である。

解答

アイウエ

 状況を整理すると、1回目の操作で起こりうるのは、
  ・赤い袋から赤球を出す
  ・赤い袋から白球を出す
  ・白い袋から赤球を出す
  ・白い袋から白球を出す
の4通りで、これらの確率の合計は 1 となる。

 まず1回目に赤い袋を選ぶ確率は、サイコロで 1 , 2 , 4 , 5 を選ぶ場合なので 2/3 の確率。白い袋は 1/3 で選ばれる。

 いま、赤い袋から赤い玉を出す確率は、
  赤い袋を選ぶ確率 \displaystyle \frac{2}{3} × 赤い袋の赤球を引く確率 \displaystyle \frac{2}{3} = \displaystyle \bm{\frac{4}{9}}
である。
 同様に、白い袋から赤い玉を出す確率は、
  白い袋を選ぶ確率 \displaystyle \frac{1}{3} × 白い袋の赤球を引く確率 \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \bm{\frac{1}{6}}
である。

オカキ

 以上の結果から、1回目の操作で赤球を引く確率(すなわち、2回目の操作が赤い袋になる確率)は、\displaystyle \frac{4}{9} + \frac{1}{6} = \frac{11}{18} となり、2回目の操作が白い袋になる確率は余事象にあたるので、

\[ 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18} \]

である。

クケコサシスセ

 2回目の操作が白い袋になる確率とは、今求めた 7/18 のことで、これを p とおく。

 さて、2回目の操作で白い袋から白球を引く確率は、

(①) \[ p \times \frac{1}{2}  = \frac{1}{2}p  \]

であり、2回目の操作で赤い袋から白球を引く確率は、

\[ (1-p) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(1-p) \]

となる。
 よって、求める確率は、

\[ \frac{1}{2}p + \frac{1}{3}(1-p) = \bm{\frac{1}{6}}p + \frac{1}{3} \]

となる。

そして、ここに p = 7/18 を代入して、2回目の操作で白球が取り出される確率は、

(②) \[ \frac{1}{6} \times \frac{7}{18} + \frac{1}{3} = \bm{\frac{43}{108}} \]

となる。

ソタチツテト

 同様の考え方を使う。
「2回目に白球を取り出す確率を q とおけば、3回目の操作で白球が取り出される確率は \displaystyle \frac{1}{6}q + \frac{1}{3}
が成り立つので、いま、 q = 43/108 であるから、求める確率は、

\[ \frac{1}{6} \times \frac{43}{108} + \frac{1}{3} = \bm{\frac{259}{648}} \]

となる。

ナニヌネ

 求める確率は、2回目に白袋から白球を選ぶ確率2回目が白球となる確率 である。
 ①より、
  分子 = \displaystyle \frac{1}{2}p = \frac{7}{36}
 ②より
  分母 = 43/108
であるから、求める条件付き確率は、

\[ \frac{7}{36} \times \frac{108}{43} = \bm{\frac{21}{43}} \]

となる。

ノハヒフヘ

 求める確率は、「1回目赤玉、2回目赤玉、3回目白球」を選ぶ確率3回目が白球となる確率 である。
 分子は、
 ・1回目赤球の確率は 11/18
 ・2回目も赤玉となるのは、赤い袋から赤球を引く確率で 2/3
 ・3回目に白球となるのは、赤い袋から白球を引く確率で 1/3
であることから、

\[ \frac{11}{18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{11}{81} \]

であり、分母は 259/649 であるから、求める確率は、

\[ \frac{\frac{11}{81}}{\frac{259}{649}} = \frac{11}{81} \times \frac{648}{259} = \bm{\frac{88}{259}} \]

である。

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