赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。
最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、直前に取り出した玉の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。
(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は ア イ であり、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は ウ エ である。
(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は オ カキ である。
(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を p で表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は ク ケ p + 13 と表される。
よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は コサ シスセ である。
同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は ソタチ ツテト である。
(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は ナニ ヌネ である。
また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、初めて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は ノハ ヒフヘ である。
解答
アイウエ
状況を整理すると、1回目の操作で起こりうるのは、
・赤い袋から赤球を出す
・赤い袋から白球を出す
・白い袋から赤球を出す
・白い袋から白球を出す
の4通りで、これらの確率の合計は 1 となる。
まず1回目に赤い袋を選ぶ確率は、サイコロで 1 , 2 , 4 , 5 を選ぶ場合なので 2/3 の確率。白い袋は 1/3 で選ばれる。
いま、赤い袋から赤い玉を出す確率は、
赤い袋を選ぶ確率 
× 赤い袋の赤球を引く確率 = 
である。
同様に、白い袋から赤い玉を出す確率は、
白い袋を選ぶ確率 
× 白い袋の赤球を引く確率 
= 
である。
オカキ
以上の結果から、1回目の操作で赤球を引く確率（すなわち、2回目の操作が赤い袋になる確率）は、
となり、2回目の操作が白い袋になる確率は余事象にあたるので、
![\[ 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94c78b3aa3ac846f45fad71856cc3c41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
である。
クケコサシスセ
2回目の操作が白い袋になる確率とは、今求めた 7/18 のことで、これを p とおく。
さて、2回目の操作で白い袋から白球を引く確率は、
(①) ![\[ p \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}p \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f886d73dcc402eec21940a54b7a61e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
であり、2回目の操作で赤い袋から白球を引く確率は、
![\[ (1-p) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(1-p) \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed0f211140d8b213f4e8382cbc2b562b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となる。
よって、求める確率は、
![\[ \frac{1}{2}p + \frac{1}{3}(1-p) = \bm{\frac{1}{6}}p + \frac{1}{3} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8205ee74ade09e35daff031f263f9a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となる。
そして、ここに p = 7/18 を代入して、2回目の操作で白球が取り出される確率は、
(②) ![\[ \frac{1}{6} \times \frac{7}{18} + \frac{1}{3} = \bm{\frac{43}{108}} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1e2d6e6b467301ba8b5d692e310daaf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となる。
ソタチツテト
同様の考え方を使う。
「2回目に白球を取り出す確率を q とおけば、3回目の操作で白球が取り出される確率は 
」
が成り立つので、いま、 q = 43/108 であるから、求める確率は、
![\[ \frac{1}{6} \times \frac{43}{108} + \frac{1}{3} = \bm{\frac{259}{648}} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16728971028e18911fcba5c16d02ea2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となる。
ナニヌネ
求める確率は、2回目に白袋から白球を選ぶ確率2回目が白球となる確率 である。
①より、
分子 = 
②より
分母 = 43/108
であるから、求める条件付き確率は、
![\[ \frac{7}{36} \times \frac{108}{43} = \bm{\frac{21}{43}} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-826f8654491e9c45df57413f1adcaced_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となる。
ノハヒフヘ
求める確率は、「1回目赤玉、2回目赤玉、3回目白球」を選ぶ確率3回目が白球となる確率 である。
分子は、
・1回目赤球の確率は 11/18
・2回目も赤玉となるのは、赤い袋から赤球を引く確率で 2/3
・3回目に白球となるのは、赤い袋から白球を引く確率で 1/3
であることから、
![\[ \frac{11}{18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{11}{81} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a3857ae194cfb10b7a77e8b578db85c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
であり、分母は 259/649 であるから、求める確率は、
![\[ \frac{\frac{11}{81}}{\frac{259}{649}} = \frac{11}{81} \times \frac{648}{259} = \bm{\frac{88}{259}} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ba14a632e19927d67ae74b057b2c6ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
である。
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