2016年 センター数学IA 第2問[1]

2016年 センター数学IA
 第1問[1] 第1問[2] 第1問[3] 第2問[1] 第2問[2][3] 第3問 第4問 第5問
 数学IA講評 PDF >>数学IIB

 △ABCの辺の長さと角の大きさを測ったところ、 AB = 7\sqrt{3} および ∠ACB = 60° であった。したがって、△ABCの外接円Oの半径は  ア  である。

 外接円Oの、点Cを含む孤AB上で点Pを動かす。

(1) 2PA = 3PB となるのは PA =  イ  ウエ  のときである。

(2) △PABの面積が最大となるのは PA =  オ  カ  のときである。

(3) sin∠PBA の値が最大となるのは PA =  キク  のときであり、このとき △PAB の面積は である。

解答

 外接円の半径を R とすると、正弦定理より、
  \displaystyle 2R = \frac{\text{AB}}{\sin \angle \text{ACB}} = \frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 14
より、 R = 7

イウエ

 AP = 3t , BP = 2t とおくと、△APBについて余弦定理より、
  AB2 = AP2 + BP2 – 2・AP・BP・cos∠APB
  147 = 9t2 + 4t2 – 12t2 cos 60°
     = 13t2 – 6t2 = 7t2
より、
  t2 = 21 すなわち t = \sqrt{21}
となるので、
  PA = 3t = \bm{3\sqrt{21}}
となる。

オカ

 つぎに、面積が最大となるのは、ABを底辺としてみた時に、Pが辺ABから最も遠い円周上にあるときで、それは、ABの垂直二等分線上と円周が交わる点がPとなるとき。いいかえれば、PA = PB の二等辺三角形である。
 すなわち、∠PAB = ∠ PBA であり、∠APB = 60° であることから、△PABは正三角形である。よって辺の長さはすべて等しく、
  PA = AB = \bm{7\sqrt{3}}
となる。

キク

 ∠P = 60°であるから、∠PBA = 90° となることが可能で、このときがsin∠PBAが最大となるとき。このとき、PAは円の直径となるので、
  PA = 2R = 14
である。

ケコサシ

 さらに、PABは∠PBA = 90° の直角三角形なので、△PABの面積は、
  \displaystyle \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{BP}
で求められる。辺の比が PB : PA : AB = 1 : 2 : \sqrt{3}の三角形であるから、
  \displaystyle \text{PB} = \frac{1}{2} \text{PA} = 7
だから、求める面積は、
  \displaystyle \frac{1}{2} \times 7\sqrt{3} \times 7 = \bm{\frac{49\sqrt{3}}{2}}
である。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

コメント

  1. 敗北の受験生 より:

    イウエなのですが、
    PA=x, PB= 2PA/3 = 2x/3
    で進めて行き、答えが3√21になると思うのですが、
    確認お願いできますか?

    • イズミ より:

      ご指摘ありがとうございます!
      私の設定が間違っていました。仰るとおり答えは 3√21です。
      解答も直しておきました。