2016年 センター数学IA 第2問[1]

解答

ア

　外接円の半径を R とすると、正弦定理より、
　　
より、 R = 7 。

イウエ

　AP = 3t , BP = 2t とおくと、△APBについて余弦定理より、
　　AB² = AP² + BP² – 2・AP・BP・cos∠APB
　　147 = 9t² + 4t² – 12t² cos 60°
　　　　 = 13t² – 6t² = 7t²
より、
　　t² = 21　すなわち　
となるので、
　　PA = 3t =
となる。

オカ

　つぎに、面積が最大となるのは、ABを底辺としてみた時に、Pが辺ABから最も遠い円周上にあるときで、それは、ABの垂直二等分線上と円周が交わる点がPとなるとき。いいかえれば、PA = PB の二等辺三角形である。
　すなわち、∠PAB = ∠ PBA であり、∠APB = 60° であることから、△PABは正三角形である。よって辺の長さはすべて等しく、
　　PA = AB =
となる。

キク

　∠P = 60°であるから、∠PBA = 90° となることが可能で、このときがsin∠PBAが最大となるとき。このとき、PAは円の直径となるので、
　　PA = 2R = 14
である。

ケコサシ

　さらに、PABは∠PBA = 90° の直角三角形なので、△PABの面積は、
　　
で求められる。辺の比が PB : PA : AB = 1 : 2 : の三角形であるから、
　　
だから、求める面積は、
　　
である。