2016年 センター数学IA 第4問

2016年 センター数学IA
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(1) 不定方程式
  92x + 197y = 1
をみたす整数 x , y の組の中で、 x の絶対値が最小のものは
  x =  アイ  , y =  ウエ 
である。不定方程式
  92x + 197y = 10
をみたす整数 x , y の組の中で、 x の絶対値が最小のものは
  x =  オカキ  , y =  クケ 
である。
 
(2) 2進法で 11011(2) と表される数を 4 進法で表すと、 コサシ (4) である。
 
 次の ⓪~⑤ の6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、
 ス  セ  ソ である。ただし、解答の順序は問わない。

  ⓪ 0.3(6) ① 0.4(6) ② 0.33(6)
  ③ 0.43(6) ④ 0.033(6) ⑤ 0.043(6)

解答

アイウエ

ax + by = k の不定方程式は、“勘”かユークリッドの互除法で、とにかくまず1つの解(特殊解)を見つける。

 係数197と92でユークリッドの互除法を行う。
  197 ÷ 92 = 2 あまり 13 すなわち 13 = 197 – 2 × 92
  92 ÷ 13 = 7 あまり 1 すなわち 1 = 92 – 7 × 13
  13 ÷ 1 = 13
より、さかのぼるように式を利用して、 1 = の式を作る。
  1 = 92 – 7 × (197 – 2 × 92)
   = 92 – 197 × 7 + 14 × 92
   = 92 × 15 – 197 × 7
となり、これより一目瞭然で x = 15 , y = -7 が一つの特殊解となることが分かる。
 よって、
  92・15 + 197・( -7 ) = 1
なので問題の式と辺々引いて、
  92 ( x – 15 ) + 197 ( y + 7 ) = 0
が成り立つ。いま、 92 と 197 は互いに素だから、
 x – 15 = 197n
 y + 7 = -92n
とおける。すなわち、
  x = 15 + 197n , y = -7 – 92n ( n は整数 )
が一般解。 x の絶対値が最も小さいのは n = 0 のときで、 x = 15 , y = -7 である。

オカキクケ

 つぎに、 92x + 197y = 10 の特殊解は、先ほどの結果より、
  x = 150 , y = -70
となるので、先程と同様に、
  92 ( x – 150 ) + 197 ( y + 70 ) = 0
が成り立つ。よって、一般解は、
  x = 150 + 197m , y = -70 – 92m ( m は整数)
となる。
  x の絶対値が最小となるのは、 m = -1 のときで、このとき、
  x = -47 , y = 22
となる。

コサシ

 2進法を10進法で表すと、
  11011(2)
  = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
  = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
となる。つぎに10進数を4進数になおして、
  27 = 1 × 42 + 2 × 41 + 3 × 40
であるから、答えは 123(4) である。

スセソ

 6進法の 0.abc は、10進法で表すと、
  0.abc(6) = a × 6-1 + b × 6-2 + c × 6-3
である。それぞれを確認すると、

 ⓪は、

\[ 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

より有限小数となり、題意を満たす。
 
 ①は、

\[ 4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} = 0. \dot{6} \]

より無限小数。
 
 ②は、

\[ 3 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} = \frac{7}{12} = 0.58 \dot{3} \]

より無限小数。
 
 ③は、

\[ 4 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

より有限小数となり、題意を満たす。
 
 ④は、

\[ 0 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} + 3 \times \frac{1}{6^3} = \frac{21}{216} = \frac{21}{216} = 0.097 \dot{2} \]

より無限小数。
 
 ⑤は、

\[ 0 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6^2} + 3 \times \frac{1}{6^3} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} = 0.125 \]

より有限小数となり、題意を満たす。
 
 以上より、答えは、⓪、③、⑤

コメント

  1. 歩米 より:

    コサシは4進数で答える問いですよ