2015年 センター数学IIB 第1問[2]

第1問[2]

解答

スセソタチツテ

 与えられた式の両辺を、1つ目の式は2乗、2つ目の式は3乗すると、

(a) \[ x^2 y^3 = a^2  \]

(b) \[ x y^3 = b^3  \]

となる。ここで、\displaystyle \frac{\text{(a)}}{\text{(b)}}を計算すると、

\begin{align*} \frac{x^2 y^3}{xy^3} &= \frac{a^2}{b^3} \\ x &= \bm{a^2 b^{-3}} \end{align*}

となる。

さらに、与えられた2つ目の式より、

\[ y = \frac{b}{\sqrt[3]{x}} = b \cdot x^{-\frac{1}{3}} \]

であるから、ここに x を代入して、

\[ y = b \times \left( a^2 b^{-3} \right) = \bm{ a^{-\frac{2}{3}} b^2} \]

となる。

トナニ

 b = 2 a^{\frac{4}{3}}より、

\begin{align*} x &= a^2 \times \left(2 a^{\frac{4}{3}} \right)^{-3} \\ &=a^2 \times 2^{-3} \times a^{-4} \\ &=\bm{2^{-3} a^{-2}} \\ y &= a^{-\frac{2}{3}} \times \left(2 a^{\frac{4}{3}} \right)^2 \\ &=a^{-\frac{2}{3}} \times 2^2 \times a^{\frac{8}{3}} \\ &=\bm{2^2 a^2} \end{align*}

である。

ヌネノハ

 問題文の誘導に乗る。相加相乗平均の関係式

\[ x + y \geqq 2 \sqrt{xy} \]

より、いま、

\[ x + y \geqq 2 \sqrt{(2^{-3} a^{-2}) \times (2^2 a^2)} = \sqrt{2} \]

が成り立つ。またこの不等式の等号が成り立つのは x = y のとき、すなわち、

\begin{align*} 2^{-3} a^{-2} &= 2^2 a^2 \\ a^4 = 2^{-5} \\ a= 2^{\frac{-5}{4}} \end{align*}

のときである。
 以上のことより、 x + y は、a= 2^{\bm{\frac{-5}{4}}}のとき、最小値\bm{\sqrt{2}}をとる。

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