2015年センター数学IIB 第1問[1]

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第1問[1]

解答

アイウエオカキ

　2点間の距離の公式を用いて求める。

$\begin{align*} \text{OP} &= \sqrt{ (2 \cos \theta)^2 + (2 \sin \theta)^2 } = \bm{2} \\ \text{PQ} &= \sqrt{ (2 \cos \theta + \cos 7\theta - 2 \cos \theta )^2 + (2 \sin \theta + \sin 7\theta - 2\sin \theta)^2 } \\ &=\bm{1} \\ \text{OQ}^2 &= (2 \cos \theta + \cos 7\theta )^2 + ( 2 \sin \theta + \sin 7\theta)^2 \\ &=5 + 4( \cos 7\theta \cos \theta + \sin 7\theta \sin \theta ) \\ &=5+ 4 \cos (7\theta - \theta ) \\ &=\bm{5 + 4 \cos 6\theta} \end{align*}$

である。
　いま、 $\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ であるから、

$-\frac{3}{4} \pi \leqq 6\theta \leqq \frac{3}{2}\pi$

であるから、

$-1 \leqq \cos 6\theta \leqq 0$

となり、 OQ が最大値を取るのは、 cos 6θ = 0 すなわち $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{\bm{4}}$ のとき、最大値は $\sqrt{5}$ である。

ク

いま、2点は、O ( 0 , 0 ), P ( 2cosθ, 2sinθ ) であるから、この2点を通る直線は、傾きが $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ で、原点を通る1次関数だから、

$y = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} x$

すなわち、

$(\sin \theta) x - (\cos \theta ) y = 0$

である。解答は $sentaku_3$ 。

ケ

　直線OQの傾きが、直線OPの傾きと等しければよいので、

$\begin{align*} &\frac{2 \sin \theta + \sin 7\theta}{2 \cos \theta + \cos 7\theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ &2 \sin \theta \cos \theta + \sin 7 \theta \cos \theta = 2 \cos \theta \sin \theta + \cos 7\theta \sin \theta \\ &\sin 7 \theta \cos \theta - \cos 7\theta \sin \theta = 0 \\ &\sin ( 7\theta - \theta ) = 0 \end{align*}$

より、 sin 6θ = 0 より、

$\begin{align*} 6\theta &= \pm k\pi \\ \theta &= \pm \frac{k}{6} \pi \end{align*}$

このうち、 $\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ を満たすのは、 k = 1 のときであるから、 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{\bm{6}}$ であればO、P、Qは一直線上に並ぶ。

コサシ

　いま、条件よりOQPが90°であり、OP = 2 , PQ = 1 であるから、△OPQにおいて三平方の定理より

$\text{OQ} = \sqrt{2^2 - 1^2 } = \sqrt{\bm{3}}$

である。このとき、

$3 = 5 + 4\cos 6\theta$

を解いて、

$\begin{align*} 6\theta &= \frac{2}{3}\pi + 2\pi n, \frac{4}{3} + 2 \pi n \\ \theta &= \frac{1}{9}\pi + \frac{1}{3}\pi n, \frac{2}{9} + \frac{1}{3} \pi n \\ \end{align*}$