2021年共通テスト(1/31)数学IIB 第1問[1]

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(1)　log₁₀10 = 　ア　である。また、log₁₀5 , log₁₀15 をそれぞれ log₁₀2 と log₁₀3 を用いて表すと
　　log₁₀5 = 　イ　 log₁₀2 + 　ウ　
　　log₁₀15 = 　エ　 log₁₀2 + log₁₀3 + 　オ　
となる。

(2)　太郎さんと花子さんは、 15²⁰ について話している。
　以下では、 log₁₀2 = 0.3010 , log₁₀3 = 0.4771 とする。

太郎：15²⁰は何桁の数だろう。
花子：15の20乗を求めるのは大変だね。log₁₀15²⁰の整数部分に着目してみようよ。

　log₁₀15²⁰は
　　　カキ　 < log₁₀15²⁰ < 　カキ　 + 1
を満たす。よって、15²⁰は　クケ　桁の数である。

太郎：15²⁰の最高位の数字も知りたいね。だけど、log₁₀15²⁰の整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子：N・10^カキ < 15²⁰ < ( N + 1 )・10^カキを満たすような正の整数 N に着目してみたらどうかな。

　log₁₀15²⁰ の小数部分は log₁₀15²⁰ – 　カキ　であり
　　log₁₀ 　コ　 < log₁₀15²⁰ – 　カキ　 < log₁₀ ( 　コ　 + 1 )
が成り立つので、 15²⁰ の最高位の数字は　サ　である。

解答

ア

　log₁₀10 = 1 である。

イウエオ

　　log₁₀5 = log₁₀102
　　　　　= log₁₀10 – log₁₀2
　　　　　= –log₁₀2 + 1
　　log₁₀15 = log₁₀3 + log₁₀5
　　　　　　= log₁₀3 + ( -log₁₀2 + 1 )
　　　　　　= –log₁₀2 + log₁₀3 + 1

カキクケ

　今の結果より、
　　log₁₀15 = -0.3010 + 0.4771 + 1 = 1.1761
となるので、
　　log₁₀15²⁰ = 20log₁₀15 = 23.522
であるから
　　23 < log₁₀15²⁰ < 23 + 1
を満たす。ここで、logを外して、
　　10²³ < 15²³ < 10²⁴
となるので、 15²³ は 24桁の数である。

10² = 100 は3桁のように、10ⁿ は n + 1 桁である。

コサ

　　log₁₀15²⁰ – 23 = 0.522
であり、
　　log₁₀3 = 0.4771 , log₁₀4 = 2log₁₀2 = 0.6020
であるから、
　　log₁₀ 3 < log₁₀15²⁰ – 23 < log₁₀4
が成り立つ。これを変形して、
　　log₁₀ 3 + 23 < log₁₀15²⁰ < log₁₀4 + 23
　　3・10²³ < 15²⁰ < 4・10²³
であることから、最高位の数は 3 である。

今回の出題は教科書レベルの頻出問題であるから、誘導がなくとも桁数と最高位の数は求められるようになっておくこと。