解答
ア
0 ≦ θ ≦ π2 より、
![\[ \sin \frac{\pi}{\bm{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7d0874a058ad70fd4a0618305039d53_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
である。
イウエ
![\[ y = \sqrt{1^2+ (\sqrt{3})^2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) = \bm{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e03ca019d12e92806dd96b1f8cf1e03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より、 θ = π6 のとき最大値 2 を取る。
オカ
p = 0 のとき、y = sinθ であり、これは θ = π2 のとき最大値 1 をとる。
キクケ
誘導を利用すると、
( y = ) sinθ + p cosθ = A ( cosθ cosα + sinθ sinα )
となるので、右辺と左辺を比較すると、
A cosα = p
A sinα = 1
である。また、 sin2α + cos2α = 1 であるから、
となるので、答えは、
![\[ y = \sqrt{\bm{1+p^2}} \cos (\theta - \alpha) \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3786ac39d7e74f6bc1463dd70556c0d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
と表され、このときαは、
![\[ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+p^2}} , \cos \alpha = \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e476aef1e7396514f16df96ef90a8d05_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
を満たすものである。
Aの値について、ここでは真面目に計算したが、なんとなく公式を覚えていればこの形になることぐらいは導出なしで使えば良いだろう。吟味するのはαの値だけで良い。
コサ
0 < α < π2 において、y が最大となるのは、
cos(θ-α) = 1 すなわち θ = α のとき
であり、その最大値は 
である。
シス
0 < α < π2 のとき、sinθ は単調増加であり、p < 0 のとき p cosθ も単調増加である。
よって、 y = sinθ ＋ p cosθ も単調増加であるから、最大値をとるθ = π2 のときで、その時の y の値は y = 1 + 0 = 1 である。
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