サイコロの目が3種類になる確率 [2007 神戸大・文理(後)]

問題

 n を 3 以上の整数とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) さいころを n 回投げたとき、出た目の数がすべて 1 になる確率を求めよ。
(2) さいころを n 回投げたとき、出た目の数が 1 と 2 の2種類になる確率を求めよ。
(3) さいころを n 回投げたとき、出た目の数が3種類になる確率を求めよ。

イズミの解答への道

 非常に基本的な問題で、受験を受ける前にかならず一度は経験しておくべき問題です。(2)で「1か2のみ出る」場合から「すべて1になる」といった場合を除かなければならないことに気付いていればよいでしょう。(3)ではその経験を活かしましょう。

解答

(1) 1 が出続ければよいので、\displaystyle \bm{\frac{1}{6^n}}である。
(2) 1 または 2 が n 回出る確率から、すべて 1 、すべて 2 となる場合を引いて、\displaystyle \bm{\frac{2^n-2}{6^n}}である。
(3) どの3種類が出るかを選ぶ方法は 6C3 = 20 通りである。
 ちょうど3種類になるのは、

  • 3種類のいずれかがn回出る場合の数

から

  • ちょうど2種類の目で構成される場合の数の3倍(どの2種類かを選ぶ方法が 3C2 = 3 通り)
  • 1種類が n 回出続ける場合の3倍(どの目が n 回出続けるかを選ぶ方法が 3C1 = 3 通り)

の2つを引いて、
  

\[ \frac{20 \{ 3^n - 3(2^n-2) - 3 \}}{6^n} = \bm{\frac{10(3^{n-1}- 2^n +1)}{6^{n-1}}} \]

である。

解説

この問題は入試頻出問題であり、ポイントは、「2種類の目が出る」という条件の場合、「2種類のどちらかが出る場合を考えたあとで、1種類しか出ない場合を除く処理をする」ということである。このことを理解するための大事な問題である。

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