「 大学入試数学演習 」一覧

垂線の足が対面の外心である四面体 [2016 京都大・理]

垂線の足が対面の外心である四面体 [2016 京都大・理]

四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。
条件:頂点A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る
ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。

巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

 iを虚数単位とする。次の事実がある。
【事実F】 a , b を互いに素な正の整数とする。このとき、 ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b)k = cos 2π/b + i sin 2π/b となる整数 k が存在する。
(1) 等式 ( cos 4π/5 + i sin 4π/5 )k = cos 2π/5 + i sin 2π/5 を満たす最小の正の整数 k は   である。
(2) a , b を互いに素な正の整数とし、集合Pを、
P = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b )k と表される複素数 }
で定める。事実Fを考慮すると、集合Pの要素の個数 n(P) は   である。
(3) 事実Fを証明しなさい。
(4) a1 , b1 を互いに素な正の整数とし、a2 , b2 も互いに素な正の整数とする。集合Q1 , Q2
Q1 = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a1π/b1 + i sin 2a1π/b1 )k と表される複素数 }
Q2 = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a2π/b2 + i sin 2a2π/b2 )k と表される複素数 }
で定め、集合Rを
R = { z | z は集合 Q1 の要素と集合 Q2 の要素の積で表される複素数 }
で定める。b1 , b2 が互いに素ならば、集合Rの要素の個数 n(R) は   である。b1 , b2 が互いに素でないとき、それらの最大公約数を d とすれば、集合Rの要素の個数 n(R) は   である。