大学入試数学演習

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垂線の足が対面の外心である四面体 [2016 京都大・理]

四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。<br /> 条件:頂点A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る<br /> ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。
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n進法で表される等式 [2016 京都大・文]

【問題】 n を4以上の自然数とする。数 2 , 12 , 1331 がすべて n 進法で表記されているとして 2<sup>12</sup> = 1331 が成り立っている。このとき n はいくつか。十進法で答えよ。
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3次関数と接線の本数 [2016 早稲田大・理工]

問題  f ( x ) = x3 - x とする。xy平面上の点 ( p , q ) から直線 y = f ( x ) へ引いた接線を考える。次の問に答えよ。 (1) 直線 y = m ( x - p ) + q が曲線 y = f...
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巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

 iを虚数単位とする。次の事実がある。<br /> 【事実F】 a , b を互いに素な正の整数とする。このとき、 ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b)<sup>k</sup> = cos 2π/b + i sin 2π/b となる整数 k が存在する。<br /> (1) 等式 ( cos 4π/5 + i sin 4π/5 )<sup>k</sup> = cos 2π/5 + i sin 2π/5 を満たす最小の正の整数 k は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (2) a , b を互いに素な正の整数とし、集合Pを、<br /> P = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定める。事実Fを考慮すると、集合Pの要素の個数 n(P) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (3) 事実Fを証明しなさい。<br /> (4) a<sub>1</sub> , b<sub>1</sub> を互いに素な正の整数とし、a<sub>2</sub> , b<sub>2</sub> も互いに素な正の整数とする。集合Q<sub>1</sub> , Q<sub>2</sub> を<br /> Q<sub>1</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> + i sin 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> Q<sub>2</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> + i sin 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定め、集合Rを<br /> R = { z | z は集合 Q<sub>1</sub> の要素と集合 Q<sub>2</sub> の要素の積で表される複素数 }<br /> で定める。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素ならば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素でないとき、それらの最大公約数を d とすれば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。
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約数の個数と和 [2016 慶應大・理工]

 2016の正の約数は全部で   個あり、それらの平均は   である。 [2016 慶應大・理工] イズミの解答への道  約数の個数と和に関する基本問題です。これは基礎テク!ですから、解法を覚えておきましょう。 解答...
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数学的帰納法 [1998 早稲田大・政経]

問題 (1) k , n を正の整数とし、 \begin{align*} S_k &= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + (-1)^{k-1} \frac...
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正二十面体の体積 [2016 順天堂大・医]

問題  正二十面体の体積を求めてみよう。  正二十面体の各面は正三角形であり、1つの頂点には5つの正三角形が集まっている。  まず、Hを中心とする円に内接する正五角形ABCDEについて考える。  ACとBEの交点をIとすると...
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循環列が存在する非循環数列 [京都大・理(特色入試サンプル)]

問題  無限数列 a1, a2, … に対する2つの条件(P)と(AP)を以下のように定める。 (P) 次を満たす自然数 N が存在する:   すべての自然数 n に対して an+N = an が成り立つ。 (AP) どのような...
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傾きとして見る [2009 上智大・文]

問題  実数 x , y が x2 + y2 = 1 を満たすとき、   $\displaystyle k = \frac{y - 4 }{x - 7} $ の最小値は        であり、最大値は        である。...
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平均値と中央値 [1997 筑波大]

問題  ある街から16世帯を無作為に選んで所得を調べたところ、度数分布表は以下のようになった。     (1) 所得の平均値、中央値、標準偏差および範囲を求めよ。 (2) 上の表で所得1000万円の世帯の所得が、実は100...
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