3次関数と接線の本数 [2016 早稲田大・理工]

問題

 f ( x ) = x3 – x とする。xy平面上の点 ( p , q ) から直線 y = f ( x ) へ引いた接線を考える。次の問に答えよ。
(1) 直線 y = m ( x – p ) + q が曲線 y = f ( x ) の接線となるための条件を m , q , p を用いて表わせ。
(2) 点 ( p , q ) から曲線 y = f ( x ) に3本の接線を引くことができるとき、 p , q の条件を求めよ。
(3) (2)の条件を満たす点 ( p , q ) の範囲を図示せよ。

イズミの解答への道

 3次関数に引ける接線の本数の問題は、頻出問題。受験用の問題集を解いていれば、必ず一度は出会っているだろう。(1)の出題は異例だが、(1)ができなくとも(2)と(3)は必ず解けるようにしたい。

解答

(1) y = f ( x ) 上の接点を ( t , t3 – t ) とおくと、この接線は、
  y = ( 3t2 – 1 ) ( x – t ) + t3 – t
   = ( 3t2 – 1 ) x – 2t3
となる。これと y = m ( x – p ) + q を比較して、
  m = 3t2 – 1 , -mp + q =2t3
となるので、t について解けば、
  t^6 = \left( \dfrac{m+1}{3} \right)^3 , t^6 = \left( \dfrac{-mp+q}{2} \right)^2
となるので、
  4 ( m + 1 )3 = 27 ( mp – q )2
となる。
 
(2) y = f ( x ) 上の点 ( t , t3 – t ) を接点とする接線は、
  y = ( 3t2 – 1 ) x – 2t3
であり、これが ( p , q ) を通るので、
  q = ( 3t2 – 1 ) p – 2t3
を満たせば良い。そして接線が3つあるということは、接点が3か所、すなわちこれを t についての方程式と見たときに、異なる3つの解をもてば良い。
  g ( t ) = 2t3 – 3pt2 + p + q
とおくと、
  g’ ( t ) = 6t2 – 6pt
    = 6t ( t – p )
となる。
 
 いま、 y = g ( t ) と y = g ( 0 ) が3つの交点を持てばよく、そのためには、
  p > 0 かつ g ( p ) < 0 < g ( 0 )
  または p < 0 かつ g ( 0 ) < 0 < g ( p )
であればよく、それは
  p ≠ 0 かつ g(0)g(p) < 0
ということである。これより求める条件は、
  \bm{( p + q ) ( -p^3 + p + q ) < 0}

(3) 作成中

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解説

3次関数と接線の本数

 3次関数の接線の本数に関する出題は頻出問題で、その解き方と同時に、結果も覚えておいてよいだろう。
 以下の図のように

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