複素数平面と鋭角三角形 ［2016 東京大・理］

イズミの解答への道

　複素数平面で問題は与えられているが、三角関数や平面図形などいろいろな解き方が考えられる問題。鋭角三角形の条件についても、辺の条件で考えるか角の条件で考えるか、どちらが解きやすいのかを考えながら使っていく必要がある。
　いろいろな解答を考えてみるのもよい練習になるだろう。

解答

複素数平面＋計算で解く

　z = 1 のとき点 A , B , C はすべて一致し三角形をなさない。よって、 z ≠ 1 である。
　鋭角三角形を為す条件は、
　　AB² + BC² > CA²　……①
　　BC² + CA² > AB²　……②
　　CA² + AB² > BC²　……③
である。いま、
　　AB = | z – 1 |
　　BC = | z² – z | = | z | | z – 1 |
　　CA = | z² – 1 |
であるから、条件①は、
　　| z – 1 |² + | z |² | z – 1 |² > | z² – 1 |²
となり、 z ≠ 1 だから、全体を | z – 1 |² で割ると、
　　1 + | z |² > | z + 1 |²　……①’
となる。
　同様に、条件②は
　　| z |² + | z + 1 |² > 1　……②’
であり、条件③は
　　| z + 1 |² + 1 > | z |² ……③’
となる。
　ここで、 z = x + yi （ x , y は実数）とおくと、それぞれの条件は、
　　1 + x² + y² > ( x + 1 )² + y²　……①”
　　x² + y² + ( x + 1 )² + y² > 1　……②”
　　( x + 1 )² + y² +1 > x² + y²　……③”
となるので、これを整理して、
　　　……①”’
　　 ⇔ 　……②”’
　　2x + 2 > 0 ⇔ x > -1　……③”’
となる。

解説