複素数平面と鋭角三角形 [2016 東京大・理]

問題

 z を複素数とする。複素数平面上の3点 A ( 1 ) , B ( z ) , C ( z2 ) が鋭角三角形をなすような z の範囲を求め、図示せよ。

イズミの解答への道

 複素数平面で問題は与えられているが、三角関数や平面図形などいろいろな解き方が考えられる問題。鋭角三角形の条件についても、辺の条件で考えるか角の条件で考えるか、どちらが解きやすいのかを考えながら使っていく必要がある。
 いろいろな解答を考えてみるのもよい練習になるだろう。

解答

複素数平面+計算で解く

 z = 1 のとき点 A , B , C はすべて一致し三角形をなさない。よって、 z ≠ 1 である。
 鋭角三角形を為す条件は、
  AB2 + BC2 > CA2 ……①
  BC2 + CA2 > AB2 ……②
  CA2 + AB2 > BC2 ……③
である。いま、
  AB = | z – 1 |
  BC = | z2 – z | = | z | | z – 1 |
  CA = | z2 – 1 |
であるから、条件①は、
  | z – 1 |2 + | z |2 | z – 1 |2 > | z2 – 1 |2
となり、 z ≠ 1 だから、全体を | z – 1 |2 で割ると、
  1 + | z |2 > | z + 1 |2 ……①’
となる。
 同様に、条件②は
  | z |2 + | z + 1 |2 > 1 ……②’
であり、条件③は
  | z + 1 |2 + 1 > | z |2 ……③’
となる。
 ここで、 z = x + yi ( x , y は実数)とおくと、それぞれの条件は、
  1 + x2 + y2 > ( x + 1 )2 + y2 ……①”
  x2 + y2 + ( x + 1 )2 + y2 > 1 ……②”
  ( x + 1 )2 + y2 +1 > x2 + y2 ……③”
となるので、これを整理して、
  x < 0 ……①”’
  2x^2 + 2x + 2y^2 >1\left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + y^2 > \dfrac{1}{4} ……②”’
  2x + 2 > 0 ⇔ x > -1 ……③”’
となる。

解説

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