大学入試数学演習

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関数方程式(指数関数) [2009 慈恵医大]

問題  関数 f ( x ) は実数全体で定義されている。 f ( x ) が次の条件 および をみたすとき、 f ( x ) を求めたい。   条件 :すべての実数 x , y について、 f ( x + y ) = f ...
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ブラーマグプタの公式 [2004 立命館大*]

問題 図のように円に内接する四角形 ABCD において、$\overline{AB}=a,\overline{BC}=b,\overline{CD}=c,\overline{DA}=d$とし、∠ABC = α, ∠CDA = β とす...
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微分可能の定義に関する証明 [2007 順天堂大・医]

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。<br /> (1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能とはどういうことか、説明せよ。<br /> (2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。<br /> (3) ある区間 a &lt; x &lt; b で微分可能な関数 f ( x ) , g ( x ) について、導関数の定義から、関数の積 f ( x ) g ( x ) の導関数を求めよ。
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最大値の最小値 [2015 九州大(後)]

問題  x , y を 0 以上 1 以下の実数とする。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、 a , b , c , d が実数のとき、 max ( a , b ) は a , b のうちの最大の数を表し、 max ( a , b ...
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関数方程式(その他) [2015 東北大・理(後)]

問題  -1 < x < 1 の範囲で定義された関数 f ( x ) で、次の2つの条件を満たすものを考える。   $\displaystyle f(x) + f(y) = f \left( \frac{x+y}{1+xy} \ri...
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放物面 [1983 東京大・理]

問題  放物線 $ \displaystyle y = \frac{3}{4} - x^2$を、y 軸のまわりに回転して得られる曲面Kを、原点を通り回転軸と45°の角をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ。 ...
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∫e-x2dxの評価 [2015 東工大]

問題  a > 0 とする。 y = e-x2 と x 軸、 y 軸、および直線 x = a で囲まれた図形を、 y 軸の周りに1回転してできる回転体を A とする。 (1) Aの体積を求めよ。 (2) 点 ( t , 0 ) (...
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等差×等比の和 [2015 横浜市立大・医]

問題  数列の和 $\displaystyle \sum_{j=1}^n j^2 2^{n-j} $を求めよ。 イズミの解答への道  「等差×等比の和」は超基本的な問題ですが、この問題は等差数列ではないので、試験で出題されると...
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背理法 [2015 大阪大・理]

以下の問いに答えよ。<br /> (1) √2 と <sup>3</sup>√3 が無理数であることを示せ。<br /> (2) p , q , √2 p + <sup>3</sup>√3 q が全て有理数であるとする。そのとき、 p = q = 0 であることを示せ。
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1と2だけでできる数列 [2015 慶應大・薬*]

問題  { an }は、数字の 1 と 2 だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である。   { an } : 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, …… このとき、 (1) a10 , a15 を...
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