背理法［2015 大阪大・理］

以下の問いに答えよ。
(1)　 $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ が無理数であることを示せ。
(2)　 $p,q,\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$ が全て有理数であるとする。そのとき、 p = q = 0 であることを示せ。

［2015 大阪大・理］

イズミの解答への道

　背理法に関する基本的な問題です。これは必ず解けるようにしておきましょう。

解答

(1)　背理法により示す。 $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、

(a) $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$

とおくことができる。ただし、 m , n は互いに素な自然数である。(a)式は、
　　2m² = n²　…(a)’
と変形すると、左辺は2の倍数なので、 n² も2の倍数なので n も2の倍数。よって、
　　n = 2k （kは自然数）
と表せる。これを(a)’に代入すると、
　　m² = 2k²
となり、同様に右辺が2の倍数なので m も2の倍数であるが、 m , n は互いに素であることに矛盾。
　よって、 $\sqrt{2}$ は無理数である。
　
　次に、 $\sqrt[3]{3}$ が有理数であると仮定すると、

(b) $\sqrt[3]{3} = \frac{u}{t}$

とおくことができる。ただし、u , t は互いに素な自然数である。(b)式は、
　　3t³ = u³　…(b)’
と変形すると、左辺は3の倍数なので、 u³ も3の倍数なので、 u も3の倍数。よって、
　　u = 3l （lは自然数）
と表せる。これを(b)’に代入すると、
　　t³ = 9l³
となり、ここでtは3の倍数であるが、これは t , u が互いに素であることに矛盾。
　よって、 $\sqrt[3]{3}$ は無理数である。

(2)　 $p,q,\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとすると、有理数 r を用いて、

とおくことができる。

$\sqrt[3]{3}q = r-\sqrt{2}p$

を両辺3乗して、

$\begin{align*} 3q^3 &= ( r- \sqrt{2}p)^3 \\ &= r^3 - 3\sqrt{2} r^2p + 6 rp^2 - 2\sqrt{2} p^3 \end{align*}$

より、

$p(3r^2+2p^2) = r^3 + 6rp^2 -3q^3$

となる。ここで、 p ≠ 0 ならば、 3r² + 2p² > 0 より、

$\sqrt{2} = \frac{r^3 + 6rp^2 -3q^3}{p(3r^2+2p^2)}$

となるが、左辺は無理数、右辺は有理数であるから矛盾。よって、 p = 0 である。

　p = 0 のとき、(c)式より、

$\sqrt[3]{3} q = r$

となり、 q ≠ 0 とすると、 $\displaystyle \sqrt[3]{3} = \frac{r}{q}$ となるが、左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾。よって、 q = 0 である。

　以上より、 p = q = 0 であることが示された。

解説

背理法とはなにか？

　背理法に関しては、過去に次のような問題が出題されている。特徴ある問題で、問題集の計算問題ばかり解いている人は、このような問題で戸惑ってしまったことだろう。

(1)　背理法とは何かを20字以上、100字以内で説明せよ。
(2)　 $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。

［2002 東京理科大・理・数］

【解答】
(1)
・命題が偽であると仮定して推論し矛盾を導き、命題を偽としたことによって矛盾が生じたことで、命題は真であることを証明する証明法。（63字）
・ p → q を証明するのに、 p かつ $\overline{q}$ とすることで矛盾することを示して、 p → q が真であるとする証明法。（49字）

(2)
　 $\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 a , b を用いて、

$\sqrt[3]{2} = \frac{a}{b}$

とおける。
　両辺3乗して、
　　2b³ = a³
であり、このとき左辺は明らかに偶数より、 a は偶数でなければならず、 a = 2a’ とおける。
　すると、
　　2b³ = 8a’³
より、
　　b³ = 4a’³
となる。ここで右辺は偶数より、 b も偶数でなければならないが、これは a , b が互いに素であることに反し、矛盾が生じる。
　よって、 $\sqrt[3]{2}$ が有理数であるという仮定が間違っていたことになり、 $\sqrt[3]{2}$ は無理数であることが背理法により示された。