背理法 [2015 大阪大・理]

以下の問いに答えよ。
(1) \sqrt{2}\sqrt[3]{3}が無理数であることを示せ。
(2) p,q,\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}qが全て有理数であるとする。そのとき、 p = q = 0 であることを示せ。

[2015 大阪大・理]

イズミの解答への道

 背理法に関する基本的な問題です。これは必ず解けるようにしておきましょう。

解答

(1) 背理法により示す。\sqrt{2}が有理数であると仮定すると、

(a) \[ \sqrt{2} = \frac{n}{m}  \]

とおくことができる。ただし、 m , n は互いに素な自然数である。(a)式は、
  2m2 = n2 …(a)’
と変形すると、左辺は2の倍数なので、 n2 も2の倍数なので n も2の倍数。よって、
  n = 2k (kは自然数)
と表せる。これを(a)’に代入すると、
  m2 = 2k2
となり、同様に右辺が2の倍数なので m も2の倍数であるが、 m , n は互いに素であることに矛盾。
 よって、\sqrt{2}は無理数である。
 
 次に、\sqrt[3]{3}が有理数であると仮定すると、

(b) \[ \sqrt[3]{3} = \frac{u}{t}  \]

とおくことができる。ただし、u , t は互いに素な自然数である。(b)式は、
  3t3 = u3 …(b)’
と変形すると、左辺は3の倍数なので、 u3 も3の倍数なので、 u も3の倍数。よって、
  u = 3l (lは自然数)
と表せる。これを(b)’に代入すると、
  t3 = 9l3
となり、ここでtは3の倍数であるが、これは t , u が互いに素であることに矛盾。
 よって、\sqrt[3]{3}は無理数である。

(2) p,q,\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}qがすべて有理数であるとすると、有理数 r を用いて、

(c) \[ \sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q = r  \]

とおくことができる。

\[ \sqrt[3]{3}q = r-\sqrt{2}p \]

を両辺3乗して、

\begin{align*} 3q^3 &= ( r- \sqrt{2}p)^3 \\ &= r^3 - 3\sqrt{2} r^2p + 6 rp^2 - 2\sqrt{2} p^3 \end{align*}

より、

\[ p(3r^2+2p^2) = r^3 + 6rp^2 -3q^3 \]

となる。ここで、 p ≠ 0 ならば、 3r2 + 2p2 > 0 より、

\[ \sqrt{2} = \frac{r^3 + 6rp^2 -3q^3}{p(3r^2+2p^2)} \]

となるが、左辺は無理数、右辺は有理数であるから矛盾。よって、 p = 0 である。

 p = 0 のとき、(c)式より、

\[ \sqrt[3]{3} q = r \]

となり、 q ≠ 0 とすると、\displaystyle \sqrt[3]{3} = \frac{r}{q}となるが、左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾。よって、 q = 0 である。

 以上より、 p = q = 0 であることが示された。

解説

背理法とはなにか?

 背理法に関しては、過去に次のような問題が出題されている。特徴ある問題で、問題集の計算問題ばかり解いている人は、このような問題で戸惑ってしまったことだろう。

(1) 背理法とは何かを20字以上、100字以内で説明せよ。
(2) \sqrt[3]{2} が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。

[2002 東京理科大・理・数]

【解答】
(1)
・命題が偽であると仮定して推論し矛盾を導き、命題を偽としたことによって矛盾が生じたことで、命題は真であることを証明する証明法。(63字)
・ p → q を証明するのに、 p かつ \overline{q} とすることで矛盾することを示して、 p → q が真であるとする証明法。(49字)

(2)
 \sqrt[3]{2}が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 a , b を用いて、

\[ \sqrt[3]{2} = \frac{a}{b} \]

とおける。
 両辺3乗して、
  2b3 = a3
であり、このとき左辺は明らかに偶数より、 a は偶数でなければならず、 a = 2a’ とおける。
 すると、
  2b3 = 8a’3
より、
  b3 = 4a’3
となる。ここで右辺は偶数より、 b も偶数でなければならないが、これは a , b が互いに素であることに反し、矛盾が生じる。
 よって、 \sqrt[3]{2} が有理数であるという仮定が間違っていたことになり、 \sqrt[3]{2} は無理数であることが背理法により示された。

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