大学入試数学演習

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サイコロを6回振れば1がでるか? [1980 京都大・文]

問題 A君は次のように考えた。 「さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6...
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tan1°は有理数か [2006 京都大・共通(後)]

問題  tan 1°は有理数か。 イズミの解答への道  今年一番の短い問題? おそらく無理数なのですが、それを示すにはどうすればよいか、悩む問題です。 解答  背理法で証明する。tan 1°が有理数であると仮定すると、...
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円周率が3.05より大きいことの証明 [2003 東京大・理]

 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 [2003 東京大・理] イズミの解答への道  そもそも円周率とはなんだったか? という定義を知らないと書き出しから困ります。解答には円周率の定義を書くことも必要となります...
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無限降下法 [2005 首都大学東京(後)]

 2 以上の自然数 n に対して方程式   (*) xn + 2yn = 4zn を考える。次の問いに答えよ。 (1) n = 2 のとき、(*)を満たす自然数 x , y , z の例を与えよ。 (2) n ≧ 3 のとき...
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tanの値がすべて整数となる三角形 [1984 一橋大]

問題  三角形 ABC で tan A , tan B , tan C が整数のとき、その値を求めよ。 イズミの解答への道  いきなりこの問題が出題されると、手も足も出ない受験生が多い。ここで使える手法が、「一般性を失わない」...
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楕円の準円 [2002 東工大]

問題  楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1 $ の外部の点 P ( a , b ) からからひいた2本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めよ。 イズミ...
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関数方程式(tanh x) [2007 京都大・理乙]

問題  すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 f ( x ) が f ( 0 ) = 0 , f ' ( 0 ) = 1 を満たし、さらに任意の実数 a , b に対して 1 + f ( a ) f ( b ) ≠ 0 であっ...
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チェビシェフの多項式 [1996 京都大・文(後)]

問題 (1) cos 5θ = f ( cos θ ) をみたす多項式 f ( x ) を求めよ。 (2) $\displaystyle \cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{3\pi}{10} \cos \...
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n角形の2本の対角線が平行になる確率 [2015 一橋大]

問題  n を 4 以上の整数とする。正 n 角形の2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線を l とする。さらに、残りの n - 2 個の頂点から 2 つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線を m とする。直線 l と m が平...
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組み合わせCの計算 [1999 東京理科大・理・応用数]

 ${}_n \text{C}_r$を二項係数とするとき、次の和を求めよ。   (1) ${}_n \text{C}_0 + {}_n \text{C}_1 + {}_n \text{C}_2 + \cdots + {}_n \...
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