21/37を小数で表したときの小数2017位|1/9、1/99の秘密

 \displaystyle \frac{21}{37}を小数で表したとき 小数第2017位の数字は何?

2017年9月5日放送 TBS系「全国小学生No.1超頭脳決定戦」より
http://www.tbs.co.jp/shogakusei-quiz/

イズミの解答への道

 定番の問題ですが、普通に解いても1分ぐらいかかります。しかし番組では、この問題を小学生が数秒で答えていたので、ピックアップしてみました。
 「解答」は、テレビで小学生が使っていた解き方を紹介します。その後で別解として、通常の解き方を紹介します。

解答

 まず、37という数字を見て、111の約数だな、と気付く算数力(算数と慣れ親しんでいる力)が必要です。
 その上で、以下のことを知識として利用します。知らないと簡単に解くことはできません。

  1 ÷ 9 = 0.1111111……
  1 ÷ 99 = 0.01010101……
  1 ÷ 999 = 0.001001001……

 さて、

\[ \frac{21}{37} = \frac{63}{111} = 63 \times 9 \times \frac{1}{999} \]

となるので、\displaystyle \frac{1}{999} = 0.001001001 \cdotsであることを利用すると、

\[ \frac{21}{37} = 567 \times \frac{1}{999} = 567 \times 0.001001001\cdots = 0.567567567\cdots \]

となる。この数は3桁ずつ循環するので、
  小数第1位の数 = 小数第4位の数 = … = 小数第2017位の数
となり、答えは 5 である。

解説

通常の解き方

 通常は、普通に21÷37をして考えます。計算はやや面倒くさいですが、
  21 ÷ 37 = 0.567567567…
と分かるので、あとは「解答」と同様に考えて、答えは 5 とわかります。
 通常の解き方は、工夫はありませんが、暗算では厳しいですよね。そこを「解答」のように考えることで、暗算で可能なレベルにするわけです。
 それを一瞬でやってのけた小学生、あっぱれです!

1/9、1/99、1/999の特徴

 この問題を暗算で瞬時に解くには、上で示した特徴、すなわち、

  1 ÷ 9 = 0.1111111……
  1 ÷ 99 = 0.01010101……
  1 ÷ 999 = 0.001001001……

を知らないといけません。これがなかなかおもしろい特徴ですよね。
 もちろん、このことを知らないといけないということはありませんが、中学入試でよく出てくるテーマでもあります。覚えておく必要はないですが、「面白いな」と思って自分で研究してみるとよいでしょう。算数好きへの第一歩ですね。

 \displaystyle \frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} を小数で表すと、小数第100位までに、2は何回現れますか。

[2016 筑波大付属中]

 通分しようとすると失敗します。先に割り算するというのは勇気がいりますが、やってみるしかありません。

【解答】 それぞれの分数を割り算すると、
  1 ÷ 9 = 0.1111111……
  1 ÷ 99 = 0.01010101……
  1 ÷ 999 = 0.001001001……
であり、これらを実際に足してみると、
  0.122213122213……
となり、6桁ごとに繰り返す小数となる。すなわち小数第100位までに、「122213」を16回繰り返し、最後に1222となるような数である。
 よって、小数第100位までに 2 は
  3 × 16 + 3 = 51回
現れる。

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