大学入試数学演習

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カルダノの公式で得られる整数解 [2002 大阪教育大(後)]

α = { ( 28/27 )+1 }^{1/3} - { ( 28/27 ) - 1 )^{1/3} とする。<br /> (1) 整数を係数とする3次方程式で、αを解に持つものがあることを示せ。<br /> (2) αは整数であることを示せ。また、その整数を答えよ。
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フェラリによる4次方程式の解法 [2006 筑波大]

 f ( x ) = x4 + 2x2 - 4x + 8 とする。 (1) ( x2 + t )2 - f ( x ) = ( px + q )2 が x の恒等式となるような整数 t , p , q の値を一組求めよ。 (2)...
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2次方程式の整数解 [2011 名古屋大・理]

a , b は a ≧ b > 0 を満たす整数とし、 x と y の2次方程式 x<sup>2</sup> + ax + b = 0 , y<sup>2</sup> + by + a = 0 がそれぞれ整数解をもつとする。<br /> (1) a = b とするとき、条件を満たす整数 a をすべて求めよ。<br /> (2) a &gt; b とするとき、条件を満たす整数の組 ( a , b ) をすべて求めよ。
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階段を1段または2段で昇る [2007 京都大・理乙]

 1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。 [2007 京都大・理乙] イズミの解答への道 有名な問題の亜流。漸化式を立てて、数えて...
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3辺が 5 , 12 , 13 の直角三角形の最鋭角の角度 [2007 早稲田大・教育]

問題  3辺の長さが 5 , 12 , 13 である三角形において、長さが 12 , 13 である2辺によってはさまれる角の大きさをθとする。このとき n°< θ < ( n + 1 )°となる整数 n は   である。 イズミ...
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