整数論の基本定理

大学入試数学演習

巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

 iを虚数単位とする。次の事実がある。<br /> 【事実F】 a , b を互いに素な正の整数とする。このとき、 ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b)<sup>k</sup> = cos 2π/b + i sin 2π/b となる整数 k が存在する。<br /> (1) 等式 ( cos 4π/5 + i sin 4π/5 )<sup>k</sup> = cos 2π/5 + i sin 2π/5 を満たす最小の正の整数 k は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (2) a , b を互いに素な正の整数とし、集合Pを、<br /> P = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定める。事実Fを考慮すると、集合Pの要素の個数 n(P) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (3) 事実Fを証明しなさい。<br /> (4) a<sub>1</sub> , b<sub>1</sub> を互いに素な正の整数とし、a<sub>2</sub> , b<sub>2</sub> も互いに素な正の整数とする。集合Q<sub>1</sub> , Q<sub>2</sub> を<br /> Q<sub>1</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> + i sin 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> Q<sub>2</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> + i sin 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定め、集合Rを<br /> R = { z | z は集合 Q<sub>1</sub> の要素と集合 Q<sub>2</sub> の要素の積で表される複素数 }<br /> で定める。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素ならば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素でないとき、それらの最大公約数を d とすれば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。
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