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巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

 iを虚数単位とする。次の事実がある。
【事実F】 a , b を互いに素な正の整数とする。このとき、 ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b)k = cos 2π/b + i sin 2π/b となる整数 k が存在する。
(1) 等式 ( cos 4π/5 + i sin 4π/5 )k = cos 2π/5 + i sin 2π/5 を満たす最小の正の整数 k は   である。
(2) a , b を互いに素な正の整数とし、集合Pを、
P = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b )k と表される複素数 }
で定める。事実Fを考慮すると、集合Pの要素の個数 n(P) は   である。
(3) 事実Fを証明しなさい。
(4) a1 , b1 を互いに素な正の整数とし、a2 , b2 も互いに素な正の整数とする。集合Q1 , Q2
Q1 = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a1π/b1 + i sin 2a1π/b1 )k と表される複素数 }
Q2 = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a2π/b2 + i sin 2a2π/b2 )k と表される複素数 }
で定め、集合Rを
R = { z | z は集合 Q1 の要素と集合 Q2 の要素の積で表される複素数 }
で定める。b1 , b2 が互いに素ならば、集合Rの要素の個数 n(R) は   である。b1 , b2 が互いに素でないとき、それらの最大公約数を d とすれば、集合Rの要素の個数 n(R) は   である。