2020年センター数学IA 第1問[1]

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(1) 直線 l : y = ( a² – 2a – 8 ) x + a の傾きが負となるのは、 a の値の範囲が
　　　アイ　 < a < 　イ　
のときである。

(2) a² – 2a – 8 ≠ 0 とし、(1)の直線 l と x 軸の交点の x 座標を b とする。
　　a > 0 の場合、 b > 0 となるのは　エ　 < a < 　オ　のときである。
　　a ≦ 0 の場合、 b > 0 となるのは a < 　カキ　のときである。

　また、 a = √3 のとき
　　b = 　ク　√　ケ　 – 　コ　　サシ　
である。

解答

アイウ

　傾きが負なので、
　　a² – 2a – 8 < 0
　　( a – 4 ) ( a + 2 ) < 0
より、 -2 < a < 4 である。

エオカキ

　a > 0 ということはy切片が正ということ。x軸との交点がプラスになるためには、傾きが負であればよい。
　よって、(1)とあわせて、
　　0 < a < 4
である。

　同様に、 a ≦ 0 のときはy切片が負（もしくは0）ということ、x軸との交点がプラスになるためには、傾きが正であればよいので、 a < -2 または 4 < a ということで、条件である a ≦ 0 と合わせて、
　　a < -2
であればよい。

クケコサシ

　求めるのは x軸との交点 b であるから、(1)の直線の式において、 y = 0 , x = b として方程式を解く。
　a = √3 を素直に代入して、

$(3 - 2\sqrt{3} - 8 ) b + \sqrt{3} = 0$

より、

$\begin{align*} b &= \frac{\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}} \\ &=\frac{\sqrt{3}(5-2\sqrt{3}}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3}} \\ &=\bm{\frac{5\sqrt{3} - 6}{13}} \end{align*}$

である。