2016年センター数学IA 第1問[2]

2016年センター数学IA
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　次の問に答えよ。必要ならば、 $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてもよい。

(1)　Aを有理数全体の集合、Bを無理数全体の集合とする。空集合をΦと表す。
　次の(i)～(iv)が真の命題になるように、　サ　～　セ　に当てはまるものを、次の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。
　
　(i)　A　　サ　　{ 0 }
　(ii)　 $\sqrt{28}$ 　シ　　B
　(iii)　A = { 0 } 　ス　 A
　(iv)　Φ = A 　セ　 B
　
　⓪　∈　①　∋　②　⊂　③　⊃　④　∩　⑤　∪　
　
(2)　実数 x に対する条件 p , q , r を次のように定める。
　
　p : x は無理数
　q : $x + \sqrt{28}$ は有理数
　r : $\sqrt{28}x$ は有理数
　
　次の　ソ　、　タ　に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。
　
　p は q であるための　ソ　。
　p は r であるための　タ　。
　
　⓪　必要十分条件である。
　①　必要条件であるが、十分条件でない
　②　十分条件であるが、必要条件でない
　③　必要条件でも十分条件でもない

解答

サシスセ

　{ 0 } とは、0だけを含む集合。よって、 A ⊃ { 0 } 。（ { 0 } ではなく、 0 であればこれは要素を表すので、 A ∋ 0 となる。）
　 $\sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ は無理数だから、 $\sqrt{28}$ ∈ B。
　スに当てはまるのは、∪か∩のみ。 Aと等しくなるのは、{ 0 } ∪ A 。
　有理数全体と無理数全体の共通集合は空集合となるので、 Φ = A ∩ B 。
　よって順に、③、⓪、⑤、④。

ソタ

　「x が無理数　⇒　 $x + \sqrt{28}$ は有理数」は明らかに偽。
　「 $x + \sqrt{28}$ は有理数　⇒　x が無理数」については次のように考える。「 $x + \sqrt{28}$ は有理数」を満たすのは $x = -\sqrt{28}$ のときだけであるが、このとき $x = -\sqrt{28} = -2\sqrt{7}$ は無理数なので真。
　よって、p は q であるための十分条件ではないが、必要条件。よって答えは①。
　
　「x が無理数　⇒　 $\sqrt{28}x$ は有理数」は偽。
　「 $\sqrt{28}x$ は有理数　⇒　x が無理数」については、「 $\sqrt{28}x$ は有理数」を満たすのは、整数 n を用いて $x = \sqrt{7}n$ のとき。ただし、 n = 0 のときは x は有理数であるから、こちらも偽。
　よって、 p は r であるための必要条件でも十分条件でもない。よって答えは③。