△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。
(1) 点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく
ADDE = ア イ
である。また、点Fの位置に関係なく
BPAP = ウ × エ オ , CQAQ = カ × キ ク
であるので、つねに
BPAP + CQAQ = ケ
となる。
エ 、 オ 、 キ 、 ク の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
⓪ BC ① BF ② CF ③ EF
④ FP ⑤ FQ ⑥ PQ
(2) AB = 9 , BC = 8 , AC = 6 とし、(1)と同様に、点Dのは線分AGの中点であるとする。ここで4点 B、C、Q、P が同一円周上にあるように点Fをとる。
このとき AQ = コ サ AP であるから
AP = シス セ , AQ = ソタ チ
であり、
CF = ツテ トナ
である。
(3) △ABCの形状や点Fの位置に関係なく、つねに BPAP + CQAQ = 10 となるのは、 ADDG = ニ ヌ のときである。
解答
アイ
重心Gの性質より、
AG : GE = 2 : 1
であり、いま、点Dは AG の中点であるから、
AD : DG : GE = 1 : 1 : 1
である。よって、
ADDE = 12
となる。
ウエオカキク
△ABEについてメネラウスの定理より、
PBAP × FEBF × DAED = 1
が成り立つので、これを整理して、
PBAP = 2 × ① BF③ EF
となる。同様に、△ACEについてメネラウスの定理より、
QCAQ × FECF × DAED = 1
が成り立つので、これを整理して、
CQAQ = 2 × ② CF③ EF……①
となる。
ケ
これらより、
PBAP + CQAQ = 2 × BF + CFEF
となる。いま、EはBCの中点より BC = 2EC が成り立つので、
BF + CF = ( BC + CF ) + CF = 2EC + 2CF = 2EF
である。よって、
PBAP + CQAQ = 2 × 2 = 4……②
コサ
方べきの定理より、
AP × AB = AQ × AC
が成り立つので、
AQ = ABAC AP = 32 AP
である。
シスセソタチ
AP = 2k , AQ = 3k （ k は正の実数）とおいて、式②に代入すると、
9 – 2k2k + 6 – 3k3k = 4
を解いて、 k = 13/12 となるので、
AP = 136 , AQ = 134
である。
ツテトナ
CQ = 6 – AQ = 114 であるから、式①より、
11/413/4 = 2 × CF4 + CF
が成り立つので、これを解いて、
CF = 4415
ニヌ
設問(1)の式変形を思い出すと、それぞれメネラウスの定理より、
BPAP = DEAD × BFEF , CQAQ = DEAD × CFEF
が成り立つので、
BPAP + CQAQ = DEAD × BF + CFEF
であり、 BF + CF = 2EF が成り立つので、
BPAP + CQAQ = DEAD × 2
となる。これが 10 に等しいということは、
AD : DE = 1 : 5
ということである。AG : GE = 2 : 1 であったから、
AD : DG : GE = 1 : 3 : 2
である。よって、
ADDG = 13
である。
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