2015年センター数学IIB 第1問[2]

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第1問[2]

解答

スセソタチツテ

　与えられた式の両辺を、1つ目の式は2乗、2つ目の式は3乗すると、

(a) $x^2 y^3 = a^2$

(b) $x y^3 = b^3$

となる。ここで、 $\displaystyle \frac{\text{(a)}}{\text{(b)}}$ を計算すると、

$\begin{align*} \frac{x^2 y^3}{xy^3} &= \frac{a^2}{b^3} \\ x &= \bm{a^2 b^{-3}} \end{align*}$

となる。

さらに、与えられた2つ目の式より、

$y = \frac{b}{\sqrt[3]{x}} = b \cdot x^{-\frac{1}{3}}$

であるから、ここに x を代入して、

$y = b \times \left( a^2 b^{-3} \right) = \bm{ a^{-\frac{2}{3}} b^2}$

となる。

トナニ

　 $b = 2 a^{\frac{4}{3}}$ より、

$\begin{align*} x &= a^2 \times \left(2 a^{\frac{4}{3}} \right)^{-3} \\ &=a^2 \times 2^{-3} \times a^{-4} \\ &=\bm{2^{-3} a^{-2}} \\ y &= a^{-\frac{2}{3}} \times \left(2 a^{\frac{4}{3}} \right)^2 \\ &=a^{-\frac{2}{3}} \times 2^2 \times a^{\frac{8}{3}} \\ &=\bm{2^2 a^2} \end{align*}$